回顾

偏序关系

$<A,\leq>$是偏序集:$\leq 是A上自反,反对称,和传递关系(偏序).$

$偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来.$

$偏序集中的重要元素:极大(小)元,最大(小)元,上(下)界,上(下)确界.$

环定义

给定代数系统$<A,+,*>,+和*是A上的二元运算,若满足下面条件$

$(1) <A,+>是交换群$

$(2) <A,*>是半群$

(3)$*对+可分配.即对任何a,b,c \in A ,有\\a*(b+c)=(a*b)+(a*c)及(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

则称$<A,+,*>$是环

子群的陪集

定义

设$<H,*>$是群$<G,*>$的子群,$a \in G$,定义集合

$aH=\{a*h|h \in H\}$

$Ha=\{h*a |h \in H\}$

则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集.

子群的定义

设$<G,*>$是群,S是G的非空子集,如果$<S,*>$满足:

(1) 对 $\forall a,b \in S$均有$a*b \in S$ (封闭性)

(2) 幺元$e \in S$ (有幺元)

(3) 对 $\forall a \in S$,有$a^{-1} \in S$ (可逆)

则称$<S,*>$是$<G,*>$的子群

定义

设$<G,*>$是代数系统,如果$*$在G上满足**封闭性,可结合性,$<G,*>$中有幺元,且G中每一个元素均可逆

则称$<G,*>$是群

细分定义

(1)设$<G,*>$是群,若集合G是有限集,则称$<G,*>$是有限群.反之则为无限群

(2)只含有幺元的群叫平凡群

(3)若$*$运算时可交换的,则称$<G,*>$是交换群或阿贝尔群

半群定义,独异点定义

设 $S$是非空集合,$*$是$S$上的二元运算,如果$*$在$S$上满足封闭性 可结合性 ,则称$<S,*>$是半群

独异点定义

设$<M,*>$是个半群,如果$*$运算有幺元,则称$<M,*>$是独异点,也称它为含幺半群

可交换半群

设$<M,*>$是个半群,如果$*$运算是可交换的,则称$<M,*>$是可交换半群

可交换独异点

设$<M,*>$是个独异点,如果$*$运算是可交换的,则称$<M,*>$是**可交换独异点

子半群

设$<S,*>$是个半群,$B\in S$,如果$*$在$B$上封闭,则称$<B,*>$是$<S,*>$的子半群

子独异点

设$<S,*>$是个独异点,$B\in S$,如果$*$在$B$上封闭,且幺元$e \in B$,则称$<B,*>$是$<S,*>$的子独异点

代数系统的基本性质

同构

同构是代数系统之间的一种重要关系，用符号 $\cong$ 表示。若两个代数系统 $(A, \star)$ 和 $(B, \circ)$ 之间存在同构，则记作 $(A, \star) \cong (B, \circ)$。

同构的性质

1. 自反性

定理：任意代数系统与自身同构。

证明：
对于任意代数系统 $(A, \star)$，存在恒等映射 $f: A \rightarrow A$，对于任意 $a \in A$，有 $f(a) = a$。

对任意 $a, b \in A$，有：

$$f(a \star b) = a \star b = f(a) \star f(b)$$

所以恒等映射 $f$ 是从系统 $(A, \star)$ 到自身的同构，即 $(A, \star) \cong (A, \star)$。

先记忆一下基础概念,顺便练习一下$\LaTeX{}$

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运算律

可交换性

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y \in S,都有$
$x \circ y = y \circ x$
$则称\circ运算是\textbf{可交换的}$