离散数学:子群的陪集及拉格朗日定理

子群的陪集

定义

设<H,*>是群<G,*>的子群,a \in G,定义集合

aH=\{a*h|h \in H\}

Ha=\{h*a |h \in H\}

则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集.

定理

<H,*>是群<G,*>的子群,任何a,b \in G,有

(1)aH=bH 当且仅当a \in bH

(2)aH \cap bH = \varnothing 当且仅当a \notin bH

证明(1)

(1)必要性

已知,aH=bH,因e \in H,于是a=a*e \in a H

(2)充分性

设a\in bH,先证aH \subseteq bH

设,任意x \in aH,于是有h_1 \in H\\ 使得x=a*h_1\\由于a \in bH,于是有h_2 \in H \\使得 a=b*h_2\\于是x=(b*h_2)*h_1=b*(h_2*h_1)\\由<H,*>是群,h_2*h_1\in H ,于是 x \in bH,所以aH \subseteq bH \\ 同理可证bH \subseteq aH,于是aH=bH,

证明(2)

a) 必要性，已知 aH \cap bH = \varnothing，假设 a \in bH

由于 e \in H，于是 a = a \star e \in aH

于是 a \in aH \cap bH，与 aH \cap bH = \varnothing 矛盾，所以 a \notin bH。

b) 充分性，已知 a \notin bH，（往证 aH \cap bH = \varnothing）

假设 aH \cap bH \neq \varnothing，则至少有 x \in aH \cap bH

于是 x \in aH 且 x \in bH，即存在 h_1, h_2 \in H 使得 x = a \star h_1，x = b \star h_2

于是 a \star h_1 = b \star h_2。又 h_1^{-1} \in H，所以 a = b \star (h_2 \star h_1^{-1})，而 h_2 \star h_1^{-1} \in H

于是 a \in bH，与 a \notin bH 矛盾。因此 aH \cap bH = \varnothing

定理2

设<H,*>是群<G,*>的子群,对任何a \in G,a必属于且仅属于一个陪集

设<G,*>是有限群,<H,*>是群<G,*>的子群,b \in G, bH为<H,*>的左陪集,则bH中的任何两个元素都不相同

拉格朗日定理

设<G,*>是有限群\\|G|=n,<H,*>是<G,*>的任意子群\\且|H|=m,则n=km,(k\in I)

拉格朗日定理说明:

子群的阶数,是群阶数的因子

推论1

<G,*>是n阶群,则对任意的a \in G, |a|必是n的银子,且a^n=e