环定义

给定代数系统<A,+,>,+A上的二元运算,若满足下面条件<A,+,*>,+和*是A上的二元运算,若满足下面条件

(1)<A,+>是交换群(1) <A,+>是交换群

(2)<A,>是半群(2) <A,*>是半群

(3)+可分配.即对任何a,b,cA,a(b+c)=(ab)+(ac)(a+b)c=(ac)+(bc)*对+可分配.即对任何a,b,c \in A ,有\\a*(b+c)=(a*b)+(a*c)及(a+b)*c=(a*c)+(b*c)

则称<A,+,><A,+,*>

环运算法则

<A,+,>是环,任意a,b,cA<A,+,*>是环,任意a,b,c \in A,约定:

+:幺元用0表示,a的逆元用a表示;对+ : 幺元用0表示,a的逆元用-a表示;

:幺元用1表示,a的逆元用a1表示;对* : 幺元用1表示,a的逆元用a^{-1}表示;

a+(b)记为ab将a+(-b)记为a-b

定理

💡

<A,+,>是环,任意a,b,cA<A,+,*>是环,任意a,b,c \in A

(1)a0=0a=0(+的幺元,恰是的零元)(1) a*0=0*a=0 (+的幺元,恰是*的零元)

(2)(a)b=a(b)=(ab)=ab(2)(-a)*b=a*(-b)=-(a*b)=-a*b

(3)(a)(b)=ab(3)(-a)*(-b)=a*b

(4)a(bc)=(ab)(ac)=abac(4) a*(b-c)=(a*b)-(a*c)=a*b-a*c

(5)(ab)c=acbc(5) (a-b)*c=a*c-b*c

易证不难

零因子

<A,+,>是环,+运算的幺元0,恰是运算的零元,0是环的零元<A,+,*>是环,+运算的幺元0,恰是*运算的零元,称0是环的零元

显然 若a=0或b=0,则ab=0a*b=0

反之 则不一定

定义:

<A,+,>是环a,bA使得abb0ab=0则称a,b是零因子设<A,+,*>是环\\有a,b \in A \\使得a \not= b \vee b \not= 0 \\ 但a*b=0 \\则称a,b是零因子

特殊环

(1)满足交换律,则称<A,+,>是交换环(1)若*满足交换律,则称<A,+,*>是交换环

(2)<A,>存在幺元,则称<A,+,>是含幺环(2)若<A,*>存在幺元,则称<A,+,*>是含幺环

(3)a,bA,ab=0=>a=0b=0,则称<A,+,>是无零因子环.(3)若 \forall a,b \in A ,a*b=0 => a=0 \vee b =0 ,则称 <A,+,*>是无零因子环.

(4)<A,+,>是交换环,含幺环,无零因子环,则称<A,+,>是整环(4) 若<A,+,*>是交换环,含幺环,无零因子环,则称<A,+,*>是整环

(5)<A0,>是交换群,则称<A,+,>是域(5) 若 <A-{0},*>是交换群,则称<A,+,*>是域

定理

💡

<A,+,>是无零因子环,当且仅当运算满足可消去性<A,+,*>是无零因子环,当且仅当运算*满足可消去性

💡

$设<A,+,*>是域,则A中无零因子.

💡

域必是整环

💡

有限整环一定是域