环定义
给定代数系统<A,+,∗>,+和∗是A上的二元运算,若满足下面条件
(1)<A,+>是交换群
(2)<A,∗>是半群
(3)∗对+可分配.即对任何a,b,c∈A,有a∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c)及(a+b)∗c=(a∗c)+(b∗c)
则称<A,+,∗>是环
环运算法则
设<A,+,∗>是环,任意a,b,c∈A,约定:
对+:幺元用0表示,a的逆元用−a表示;
对∗:幺元用1表示,a的逆元用a−1表示;
将a+(−b)记为a−b
定理
💡
设<A,+,∗>是环,任意a,b,c∈A
(1)a∗0=0∗a=0(+的幺元,恰是∗的零元)
(2)(−a)∗b=a∗(−b)=−(a∗b)=−a∗b
(3)(−a)∗(−b)=a∗b
(4)a∗(b−c)=(a∗b)−(a∗c)=a∗b−a∗c
(5)(a−b)∗c=a∗c−b∗c
易证不难
零因子
设<A,+,∗>是环,+运算的幺元0,恰是∗运算的零元,称0是环的零元
显然 若a=0或b=0,则a∗b=0
反之 则不一定
定义:
设<A,+,∗>是环有a,b∈A使得a=b∨b=0但a∗b=0则称a,b是零因子
特殊环
(1)若∗满足交换律,则称<A,+,∗>是交换环
(2)若<A,∗>存在幺元,则称<A,+,∗>是含幺环
(3)若∀a,b∈A,a∗b=0=>a=0∨b=0,则称<A,+,∗>是无零因子环.
(4)若<A,+,∗>是交换环,含幺环,无零因子环,则称<A,+,∗>是整环
(5)若<A−0,∗>是交换群,则称<A,+,∗>是域
定理
💡
<A,+,∗>是无零因子环,当且仅当运算∗满足可消去性