离散数学:格的基本概念

\mathbf{
\begin{aligned}
&\text{由格诱导的代数系统} \\
&设<A,\preceq>是格，在A上定义二元运算\lor和\land为: \forall a,b\in A \\
&a\lor b = \text{LUB} \{a,b\}, \quad \{a,b\}的最小上界。Least Upper Bound \\
&a\land b = \text{GLB} \{a,b\}, \quad \{a,b\}的最大下界。Greatest Lower Bound \\
&称<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。(\lor-并,\land-交)
\end{aligned}


}

\mathbf{
\begin{aligned}
&\text{子格} \\
&设<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。B是A的非空子集， \\
&如果\land和\lor在B上封闭，则称<B,\preceq>是<A,\preceq>的子格。
\end{aligned}
}

\mathbf{
\begin{aligned}
&\text{格的对偶} \\
&如果将命题 (P) 中的 \leqslant 换成 \geqslant，\land 换成 \lor，\lor 换成 \land，得到命题 (P')，称 (P') 为 (P) 的对偶命题。 \\
&对偶原理：如果 (P) 对任何格为真，则 (P') 对任何格也为真。
\end{aligned}
}

\mathbf{
\begin{aligned}
&\text{三. 格的同态与同构} \\
&\text{设} <A_1,\leqslant_1> \text{ 和 } <A_2,\leqslant_2> \text{ 是两个格，由它们诱导的代数系统分别是 } \\
&<A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 和 } <A_2,\lor_2,\land_2>, \text{ 如果存在映射 } f:A_1\rightarrow A_2 \text{ 使得对任何 } a,b\in A_1, \\
&\quad f(a\lor_1 b)=f(a)\lor_2 f(b) \\
&\quad f(a\land_1 b)=f(a)\land_2 f(b) \\
&\text{则称} f \text{ 是 } <A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 到 } <A_2,\lor_2,\land_2> \text{ 的同态映射。} \\
&\text{也称 } <f(A_1),\leqslant_2> \text{ 是 } <A_1,\leqslant_1> \text{ 的同态像。} \\
&\text{如果 } f \text{ 是双射，就称 } f \text{ 是 } <A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 到 } <A_2,\lor_2,\land_2> \text{ 的格同构，} \\
&\text{也称格 } <A_1,\leqslant_1> \text{ 和 } <A_2,\leqslant_2> \text{ 同构。}
\end{aligned}
}