子群的定义
设<G,∗>是群,S是G的非空子集,如果<S,∗>满足:
(1) 对 ∀a,b∈S均有a∗b∈S (封闭性)
(2) 幺元e∈S (有幺元)
(3) 对 ∀a∈S,有a−1∈S (可逆)
则称<S,∗>是<G,∗>的子群
任何群<G,∗>都存在子群,**<e,∗>,<G,∗>**都是<G,∗>的子群,称为<G,∗>的平凡子群.
证明方法
1.定义证明
即证明,运算在非空子集上满足封闭性,有幺元,子集中的每个元素均可逆
2.定理证明
定理
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设<G,∗>是群,B是G的有限子集,如果∗在B上满足封闭性,则<B,∗>是<G,∗>的子群
证明:
(1)先证明幺元e∈B
任取b∈B,因为∗在B上封闭,所以对任意i≥1,有bi∈B,因i可以取无穷多个值,而B中元素个数有限,所以必然存在正整数i,j(i<j),使得bi=bj,j−i≥1,所以bj−i∈B.因为<G,∗>是群,于是b−1,(bi)−1∈G,于是bj−i=bj∗(b−1)i=bi∗(bi)−1=e,而bj−i∈B,所以e∈B.
(2) 在证B中每个元素均可逆
任取b∈B由(1)可知bj−i=e(j−i≥1)(1)如果j−i=1,则bj−i=b=e,即b−1=b,于是b−1∈B.(2)如果j−i>1,有bj−i−1∈B,而b∗bj−i−1=bj−i−1∗b=bj−i=e,即b−1=bj−i−1,于是b−1∈B
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设<G,*>是群,S是G的非空子集,如果对∀a,b∈S,均有a∗b−1∈S则<S,∗>是<G,∗>的子群
(1)先证幺元(e∈S)任取(a∈S),由已知得(a∗a−1∈S)。而(a∗a−1=e),即(e∈S)。(2)再证明(S)中任意元素均可逆任取(b∈S),由(1)知,(e∈S)。再由已知得(e∗b−1∈S),而(e∗b−1=b−1)。即b−1∈S(3)最后证明<S,∗>是封闭的任取a,b∈S,由(2)知b−1∈S,由已知得a∗(b−1)−1∈S,即a∗吧∈S综上,<S,∗>是<G,∗>的子群