子群的定义

<G,><G,*>是群,S是G的非空子集,如果<S,><S,*>满足:

(1) 对 a,bS\forall a,b \in S均有abSa*b \in S (封闭性)

(2) 幺元eSe \in S (有幺元)

(3) 对 aS\forall a \in S ,有a1Sa^{-1} \in S (可逆)

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显而易见,结合性不证自明,略

则称<S,><S,*><G,><G,*>的子群

任何群<G,><G,*>都存在子群,**<e,>,<G,><{e},*>,<G,*>**都是<G,><G,*>的子群,称为<G,><G,*>的平凡子群.

证明方法

1.定义证明

即证明,运算在非空子集上满足封闭性,有幺元,子集中的每个元素均可逆

2.定理证明

定理

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<G,>是群,BG的有限子集,如果B上满足封闭性,<B,><G,>的子群设<G,*>是群,B是G的有限子集,如果*在B上满足封闭性,则<B,*>是<G,*>的子群

证明:

(1)先证明幺元eBe \in B

任取bB,因为B上封闭,所以对任意i1,biB,i可以取无穷多个值,B中元素个数有限,所以必然存在正整数i,j(i<j),使得bi=bj,ji1,所以bjiB.因为<G,>是群,于是b1,(bi)1G,于是bji=bj(b1)i=bi(bi)1=e,bjiB,所以eB.任取 b \in B,因为*在B上封闭,所以对任意i \ge1,有b^{i}\in B,因i可以取无穷多个值,而B中元素个数有限,所以必然存在正整数i,j(i<j),使得b^i=b^j,j-i\geq1,所以b^{j-i} \in B.因为<G,*>是群,于是b^{-1},(b^i)^{-1}\in G ,于是b^{j-i}=b^j*(b^{-1})^i=b^i*(b^i)^{-1}=e,而b^{j-i} \in B,所以e \in B.

(2) 在证B中每个元素均可逆

任取bB(1)可知bji=e(ji1)(1)如果ji=1,bji=b=e,b1=b,于是b1B.(2)如果ji>1,bji1B,bbji1=bji1b=bji=e,b1=bji1,于是b1B 任取b \in B 由 (1)可知 b^{j-i}=e (j-i \ge 1)\\ (1) 如果j-i=1,则b^{j-i}=b=e,即b^{-1}=b,于是b^{-1} \in B. \\ (2)如果j-i>1,有b^{j-i-1}\in B,而 b*b^{j-i-1}=b^{j-i-1}*b=b^{j-i}=e,即b^{-1}=b^{j-i-1},于是b^{-1}\in B

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设<G,*>是群,S是G的非空子集,如果对a,bS\forall a,b \in S,均有ab1Sa*b^{-1} \in S<S,><G,><S,*>是<G,*>的子群

(1)先证幺元(eS)任取(aS),由已知得(aa1S)(aa1=e),即(eS)(2)再证明(S)中任意元素均可逆任取(bS),由(1)知,(eS)再由已知得(eb1S),而(eb1=b1)b1S(3)最后证明<S,>是封闭的任取a,bS,(2)b1S,由已知得a(b1)1S,aS综上,<S,><G,>的子群(1) 先证幺元 (e \in S)\\ 任取 (a \in S),由已知得 (a * a^{-1} \in S)。 \\ 而 (a * a^{-1} = e),即 (e \in S)。 \\ (2) 再证明 (S) 中任意元素均可逆 \\ 任取 (b \in S),由 (1) 知,(e \in S)。 \\ 再由已知得 (e * b^{-1} \in S),而 (e * b^{-1} = b^{-1})。 \\即b^{-1} \in S (3)最后证明<S,*>是封闭的\\ 任取a,b \in S, 由(2)知b^{-1} \in S,由已知得\\ a*(b^{-1})^{-1}\in S ,即a*吧\in S \\综上,<S,*>是<G,*>的子群