离散数学:群的定义及性质

定义

设<G,*>是代数系统,如果*在G上满足*_封闭性,可结合性,<G,_>中有幺元,且G中每一个元素均可逆

则称<G,*>是群

细分定义

(1)设<G,*>是群,若集合G是有限集,则称<G,*>是有限群.反之则为无限群

(2)只含有幺元的群叫平凡群

(3)若*运算时可交换的,则称<G,*>是交换群或阿贝尔群

性质

群中无零元

:::tip

定理:设<G,*>是群,如果|G| \geq 2 ,则G中无零元.

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证:

反证法\\
假设G中存在零元 \theta , \forall x \in G ,有 \\
\theta * x = x * \theta = \theta \\
零元不存在逆元,与定义矛盾,所以群无零元

群中每个元素都是可消去元

:::tip

设<G,*>是个群,则 \forall a,b,c \in G 都有∀a,b,c∈G,如果有

a*b=a*c则 b=c

b*a=c*a则 b = c

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证明:

任取a,b,c \in G设有 a*b=a*c

因<G,*>是个群,所以a^{-1} \in G于是有

a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)\\
(a^{-1}*a)*b=(a^{-1}*a)*c\\
e*b=e*c\\

所以 b=c

群中除幺元外,无其他幂等元

定理

:::tip

设<G,*>是群,则G中除幺元外,没有其他幂等元.

:::

证明:

设a \in G是幂等元,即a*a=a于是有a*a=a*e,由可消去性有

a=e,出现矛盾,所以群中除幺元外,没有其他幂等元

群方程有唯一解

:::tip

设<G,*>是个群,则 \forall a,b \in G

(1) \exists 唯一 x \in G,使得a*x=b

(2)\exists 唯一 y \in G,使得y*a=b

:::

证明:

因为<G,*>是群,对\forall a,b \in G,有a^{-1} \in G\\
所以a^{-1}*b \in G,将a^{-1}*b带入(1)中得:\\
a*x=a*(a^{-1}*b)=(a*a^{-1})*b=e*b=b\\
所以x=a^{-1}*b是方程(1)的解.\\

设(1)有两个解,x_{1},x_{2} \in G,于是有 a*x_1=b,a*x_2=b,所以\\
a*x_1=a*x_2,由可消去性得x_1=x_2.

有限群运算表的特征

定理

:::tip

<G,*>是有限群,则G中每个元素在*运算表中的每一个行(列)都必出现且仅出现一次.

:::

<G,*>是个群,对 \forall a,b \in G,有

(1) (a^{-1})^{-1}=a

(2) (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}

易证不难,略!

推论

a^{-n}=(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}

规定

a^{0}=e

群的阶与群众元素的阶

群的阶

设<G,*>是群,如果|G|=n,则称<G,*>是n阶群,n为群中元素数量,若n \to \infty

则<G,*>为无限群

群众元素的阶

设

<G,*>是群,a \in G,使得 a^{k}=e成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,称a为k阶元.

若不存在这样的正整数k,则称a的阶是无限的.

定理

:::tip

设<G,*>是群,a\in G且|a|=k.设n是整数,则

(1) a^{n}=e当且仅当k整除n.

(2) |a^{-1}|=|a|

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易证不难