半群定义,独异点定义

SS是非空集合,*SS上的二元运算,如果*SS上满足封闭性 可结合性 ,则称<S,><S,*>半群

独异点定义

<M,><M,*>是个半群,如果*运算有幺元,则称<M,><M,*>独异点,也称它为含幺半群

可交换半群

<M,><M,*>是个半群,如果*运算是可交换的,则称<M,><M,*>可交换半群

可交换独异点

<M,><M,*>是个独异点,如果*运算是可交换的,则称<M,><M,*>是**可交换独异点

子半群

<S,><S,*>是个半群,BSB\in S,如果*BB上封闭,则称<B,><B,*><S,><S,*>的子半群

子独异点

<S,><S,*>是个独异点,BSB\in S,如果*BB上封闭,且幺元eBe \in B,则称<B,><B,*><S,><S,*>的子独异点

定理

<M,><M,*>是可交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合,则<A,><A,*><M,><M,*>的子独异点**

💡

显然AMA \in M,只需证明幺元eAe \in A,以及封闭性即可!

证明:

(1)证eAe \in A

因为 ee=ee * e =e ,e是幂等元,由题意,eAe \in A

(2) 证*在A上封闭

任取 a,bAa,b \in A,于是

aa=a,bb=b(ab)(ab)=(aa)(bb)=abA上封闭(幂等元),所以abAa * a =a , b*b=b \\ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)=a*b \\ 在A上封闭(幂等元),所以 a*b \in A

定理得证