半群定义,独异点定义
设 S是非空集合,∗是S上的二元运算,如果∗在S上满足封闭性 可结合性 ,则称<S,∗>是半群
独异点定义
设<M,∗>是个半群,如果∗运算有幺元,则称<M,∗>是独异点,也称它为含幺半群
可交换半群
设<M,∗>是个半群,如果∗运算是可交换的,则称<M,∗>是可交换半群
可交换独异点
设<M,∗>是个独异点,如果∗运算是可交换的,则称<M,∗>是**可交换独异点
子半群
设<S,∗>是个半群,B∈S,如果∗在B上封闭,则称<B,∗>是<S,∗>的子半群
子独异点
设<S,∗>是个独异点,B∈S,如果∗在B上封闭,且幺元e∈B,则称<B,∗>是<S,∗>的子独异点
定理
<M,∗>是可交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合,则<A,∗>是<M,∗>的子独异点**
💡
显然A∈M,只需证明幺元e∈A,以及封闭性即可!
证明:
(1)证e∈A
因为 e∗e=e,e是幂等元,由题意,e∈A
(2) 证∗在A上封闭
任取 a,b∈A,于是
a∗a=a,b∗b=b(a∗b)∗(a∗b)=(a∗a)∗(b∗b)=a∗b在A上封闭(幂等元),所以a∗b∈A
定理得证