子群的定义
设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > < S , ∗ > <S,*> < S , ∗ >
(1) 对 ∀ a , b ∈ S \forall a,b \in S ∀ a , b ∈ S a ∗ b ∈ S a*b \in S a ∗ b ∈ S
(2) 幺元e ∈ S e \in S e ∈ S
(3) 对 ∀ a ∈ S \forall a \in S ∀ a ∈ S a − 1 ∈ S a^{-1} \in S a − 1 ∈ S
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显而易见,结合性不证自明,略
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则称< S , ∗ > <S,*> < S , ∗ > < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ >
任何群< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > < e , ∗ > , < G , ∗ > <{e},*>,<G,*> < e , ∗ > , < G , ∗ > < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ >
证明方法
1.定义证明
即证明,运算在非空子集 上满足封闭性,有幺元,子集中的每个元素均可逆
2.定理证明
定理
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设 < G , ∗ > 是群 , B 是 G 的有限子集 , 如果 ∗ 在 B 上满足封闭性 , 则 < B , ∗ > 是 < G , ∗ > 的子群 设<G,*>是群,B是G的有限子集,如果*在B上满足封闭性,则<B,*>是<G,*>的子群 设 < G , ∗ > 是群 , B 是 G 的有限子集 , 如果 ∗ 在 B 上满足封闭性 , 则 < B , ∗ > 是 < G , ∗ > 的子群
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证明:
(1)先证明幺元e ∈ B e \in B e ∈ B
任取 b ∈ B , 因为 ∗ 在 B 上封闭 , 所以对任意 i ≥ 1 , 有 b i ∈ B , 因 i 可以取无穷多个值 , 而 B 中元素个数有限 , 所以必然存在正整数 i , j ( i < j ) , 使得 b i = b j , j − i ≥ 1 , 所以 b j − i ∈ B . 因为 < G , ∗ > 是群 , 于是 b − 1 , ( b i ) − 1 ∈ G , 于是 b j − i = b j ∗ ( b − 1 ) i = b i ∗ ( b i ) − 1 = e , 而 b j − i ∈ B , 所以 e ∈ B . 任取 b \in B,因为*在B上封闭,所以对任意i \ge1,有b^{i}\in B,因i可以取无穷多个值,而B中元素个数有限,所以必然存在正整数i,j(i<j),使得b^i=b^j,j-i\geq1,所以b^{j-i} \in B.因为<G,*>是群,于是b^{-1},(b^i)^{-1}\in G ,于是b^{j-i}=b^j*(b^{-1})^i=b^i*(b^i)^{-1}=e,而b^{j-i} \in B,所以e \in B. 任取 b ∈ B , 因为 ∗ 在 B 上封闭 , 所以对任意 i ≥ 1 , 有 b i ∈ B , 因 i 可以取无穷多个值 , 而 B 中元素个数有限 , 所以必然存在正整数 i , j ( i < j ) , 使得 b i = b j , j − i ≥ 1 , 所以 b j − i ∈ B . 因为 < G , ∗ > 是群 , 于是 b − 1 , ( b i ) − 1 ∈ G , 于是 b j − i = b j ∗ ( b − 1 ) i = b i ∗ ( b i ) − 1 = e , 而 b j − i ∈ B , 所以 e ∈ B .
(2) 在证B中每个元素均可逆
任取 b ∈ B 由 ( 1 ) 可知 b j − i = e ( j − i ≥ 1 ) ( 1 ) 如果 j − i = 1 , 则 b j − i = b = e , 即 b − 1 = b , 于是 b − 1 ∈ B . ( 2 ) 如果 j − i > 1 , 有 b j − i − 1 ∈ B , 而 b ∗ b j − i − 1 = b j − i − 1 ∗ b = b j − i = e , 即 b − 1 = b j − i − 1 , 于是 b − 1 ∈ B 任取b \in B 由 (1)可知 b^{j-i}=e (j-i \ge 1)\\ (1) 如果j-i=1,则b^{j-i}=b=e,即b^{-1}=b,于是b^{-1} \in B. \\ (2)如果j-i>1,有b^{j-i-1}\in B,而 b*b^{j-i-1}=b^{j-i-1}*b=b^{j-i}=e,即b^{-1}=b^{j-i-1},于是b^{-1}\in B 任取 b ∈ B 由 ( 1 ) 可知 b j − i = e ( j − i ≥ 1 ) ( 1 ) 如果 j − i = 1 , 则 b j − i = b = e , 即 b − 1 = b , 于是 b − 1 ∈ B . ( 2 ) 如果 j − i > 1 , 有 b j − i − 1 ∈ B , 而 b ∗ b j − i − 1 = b j − i − 1 ∗ b = b j − i = e , 即 b − 1 = b j − i − 1 , 于是 b − 1 ∈ B
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设<G,*>是群,S是G的非空子集,如果对∀ a , b ∈ S \forall a,b \in S ∀ a , b ∈ S a ∗ b − 1 ∈ S a*b^{-1} \in S a ∗ b − 1 ∈ S < S , > 是 < G , > <S,_>是<G,_> < S , > 是 < G , >
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( 1 ) 先证幺元 ( e ∈ S ) 任取 ( a ∈ S ) ，由已知得 ( a ∗ a − 1 ∈ S ) 。 而 ( a ∗ a − 1 = e ) ，即 ( e ∈ S ) 。 ( 2 ) 再证明 ( S ) 中任意元素均可逆 任取 ( b ∈ S ) ，由 ( 1 ) 知， ( e ∈ S ) 。 再由已知得 ( e ∗ b − 1 ∈ S ) ，而 ( e ∗ b − 1 = b − 1 ) 。 即 b − 1 ∈ S ( 3 ) 最后证明 < S , ∗ > 是封闭的 任取 a , b ∈ S , 由 ( 2 ) 知 b − 1 ∈ S , 由已知得 a ∗ ( b − 1 ) − 1 ∈ S , 即 a ∗ 吧 ∈ S 综上 , < S , ∗ > 是 < G , ∗ > 的子群 (1) 先证幺元 (e \in S)\
任取 (a \in S)，由已知得 (a * a^{'{'}-1{'}'} \in S)。
\
而 (a * a^{'{'}-1{'}'} = e)，即 (e \in S)。
\
(2) 再证明 (S) 中任意元素均可逆
\
任取 (b \in S)，由 (1) 知，(e \in S)。
\
再由已知得 (e * b^{'{'}-1{'}'} \in S)，而 (e * b^{'{'}-1{'}'} = b^{'{'}-1{'}'})。
\即b^{'{'}-1{'}'} \in S
(3)最后证明<S,>是封闭的\
任取a,b \in S, 由(2)知b^{'{'}-1{'}'} \in S,由已知得\
a (b^{'{'}-1{'}'})^{'{'}-1{'}'}\in S ,即a吧\in S
\综上,<S, >是<G,*>的子群 ( 1 ) 先证幺元 ( e ∈ S ) 任取 ( a ∈ S ) ，由已知得 ( a ∗ a − 1 ∈ S ) 。 而 ( a ∗ a − 1 = e ) ，即 ( e ∈ S ) 。 ( 2 ) 再证明 ( S ) 中任意元素均可逆 任取 ( b ∈ S ) ，由 ( 1 ) 知， ( e ∈ S ) 。 再由已知得 ( e ∗ b − 1 ∈ S ) ，而 ( e ∗ b − 1 = b − 1 ) 。 即 b − 1 ∈ S ( 3 ) 最后证明 < S , ∗ > 是封闭的 任取 a , b ∈ S , 由 ( 2 ) 知 b − 1 ∈ S , 由已知得 a ∗ ( b − 1 ) − 1 ∈ S , 即 a ∗ 吧 ∈ S 综上 , < S , ∗ > 是 < G , ∗ > 的子群
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