离散数学:子群及其证明

子群的定义

设<G,*>是群,S是G的非空子集,如果<S,*>满足:

(1) 对 \forall a,b \in S均有a*b \in S (封闭性)

(2) 幺元e \in S (有幺元)

(3) 对 \forall a \in S ,有a^{-1} \in S (可逆)

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显而易见,结合性不证自明,略

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则称<S,*>是<G,*>的子群

任何群<G,*>都存在子群,**<{e},*>,<G,*>**都是<G,*>的子群,称为<G,*>的平凡子群.

证明方法

1.定义证明

即证明,运算在非空子集上满足封闭性,有幺元,子集中的每个元素均可逆

2.定理证明

定理

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设<G,*>是群,B是G的有限子集,如果*在B上满足封闭性,则<B,*>是<G,*>的子群

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证明:

(1)先证明幺元e \in B

任取 b \in B,因为*在B上封闭,所以对任意i \ge1,有b^{i}\in B,因i可以取无穷多个值,而B中元素个数有限,所以必然存在正整数i,j(i<j),使得b^i=b^j,j-i\geq1,所以b^{j-i} \in B.因为<G,*>是群,于是b^{-1},(b^i)^{-1}\in G ,于是b^{j-i}=b^j*(b^{-1})^i=b^i*(b^i)^{-1}=e,而b^{j-i} \in B,所以e \in B.

(2) 在证B中每个元素均可逆

任取b \in B 由 (1)可知 b^{j-i}=e (j-i \ge 1)\\ (1) 如果j-i=1,则b^{j-i}=b=e,即b^{-1}=b,于是b^{-1} \in B. \\ (2)如果j-i>1,有b^{j-i-1}\in B,而 b*b^{j-i-1}=b^{j-i-1}*b=b^{j-i}=e,即b^{-1}=b^{j-i-1},于是b^{-1}\in B

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设<G,*>是群,S是G的非空子集,如果对\forall a,b \in S,均有a*b^{-1} \in S则<S,_>是<G,_>的子群

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(1) 先证幺元 (e \in S)\\
任取 (a \in S)，由已知得 (a * a^{-1} \in S)。
\\
而 (a * a^{-1} = e)，即 (e \in S)。
\\
(2) 再证明 (S) 中任意元素均可逆
\\
任取 (b \in S)，由 (1) 知，(e \in S)。
\\
再由已知得 (e * b^{-1} \in S)，而 (e * b^{-1} = b^{-1})。
\\即b^{-1} \in S
(3)最后证明<S,*>是封闭的\\
任取a,b \in S, 由(2)知b^{-1} \in S,由已知得\\
a*(b^{-1})^{-1}\in S ,即a*吧\in S
\\综上,<S,*>是<G,*>的子群