定义

设<G,∗><G,*>是代数系统,如果∗*在G上满足**封闭性,可结合性,<G,∗><G,*>中有幺元,且G中每一个元素均可逆

则称<G,∗><G,*>是群

细分定义

(1)设<G,∗><G,*>是群,若集合G是有限集,则称<G,∗><G,*>是有限群.反之则为无限群

(2)只含有幺元的群叫平凡群

(3)若∗*运算时可交换的,则称<G,∗><G,*>是交换群或阿贝尔群

性质

群中无零元

💡

定理:设<G,∗><G,*>是群,如果∣G∣≥2|G| \geq 2 ,则GG中无零元.

证:

反证法假设G中存在零元θ,∀x∈G,有θ∗x=x∗θ=θ零元不存在逆元,与定义矛盾,所以群无零元反证法\\ 假设G中存在零元 \theta , \forall x \in G ,有 \\ \theta * x = x * \theta = \theta \\ 零元不存在逆元,与定义矛盾,所以群无零元

群中每个元素都是可消去元

💡

设<G,∗><G,*>是个群,则 ∀a,b,c∈G都有\forall a,b,c \in G 都有∀a,b,c∈G,如果有

a∗b=a∗ca*b=a*c则 b=cb=c

b∗a=c∗ab*a=c*a则 b=c b = c

证明:

任取a,b,c∈Ga,b,c \in G设有 a∗b=a∗ca*b=a*c

因<G,∗><G,*>是个群,所以a−1∈Ga^{-1} \in G于是有

a−1∗(a∗b)=a−1∗(a∗c)(a−1∗a)∗b=(a−1∗a)∗ce∗b=e∗ca^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)\\ (a^{-1}*a)*b=(a^{-1}*a)*c\\ e*b=e*c\\

所以 b=cb=c

群中除幺元外,无其他幂等元

定理

💡

设<G,∗><G,*>是群,则G中除幺元外,没有其他幂等元.

证明:

设a∈Ga \in G是幂等元,即a∗a=aa*a=a于是有a∗a=a∗ea*a=a*e,由可消去性有

a=ea=e,出现矛盾,所以群中除幺元外,没有其他幂等元

群方程有唯一解

💡

设<G,∗><G,*>是个群,则∀a,b∈G \forall a,b \in G

(1) ∃唯一x∈G,使得a∗x=b\exists 唯一 x \in G,使得a*x=b

(2)∃唯一y∈G,使得y∗a=b\exists 唯一 y \in G,使得y*a=b

证明:

因为<G,∗>是群,对∀a,b∈G,有a−1∈G所以a−1∗b∈G,将a−1∗b带入(1)中得:a∗x=a∗(a−1∗b)=(a∗a−1)∗b=e∗b=b所以x=a−1∗b是方程(1)的解.设(1)有两个解,x1,x2∈G,于是有a∗x1=b,a∗x2=b,所以a∗x1=a∗x2,由可消去性得x1=x2.因为<G,*>是群,对\forall a,b \in G,有a^{-1} \in G\\ 所以a^{-1}*b \in G,将a^{-1}*b带入(1)中得:\\ a*x=a*(a^{-1}*b)=(a*a^{-1})*b=e*b=b\\ 所以x=a^{-1}*b是方程(1)的解.\\ 设(1)有两个解,x_{1},x_{2} \in G,于是有 a*x_1=b,a*x_2=b,所以\\ a*x_1=a*x_2,由可消去性得x_1=x_2.

有限群运算表的特征

定理

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<G,∗><G,*>是有限群,则G中每个元素在∗*运算表中的每一个行(列)都必出现且仅出现一次.

<G,∗><G,*>是个群,对∀a,b∈G \forall a,b \in G,有

(1) (a−1)−1=a(a^{-1})^{-1}=a

(2) (a∗b)−1=b−1∗a−1(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}

易证不难,略!

推论

a−n=(an)−1=(a−1)na^{-n}=(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}

规定

a0=ea^{0}=e

群的阶与群众元素的阶

群的阶

设<G,∗><G,*>是群,如果|G|=n,则称<G,∗><G,*>是n阶群,n为群中元素数量,若n→∞n \to \infty

则<G,∗><G,*>为无限群

群众元素的阶

设

<G,∗><G,*>是群,a∈Ga \in G,使得 ak=ea^{k}=e成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,称a为k阶元.

若不存在这样的正整数k,则称a的阶是无限的.

定理

💡

设<G,∗><G,*>是群,a∈Ga\in G且|a|=k.设n是整数,则

(1) an=ea^{n}=e当且仅当k整除n.

(2) ∣a−1∣=∣a∣|a^{-1}|=|a|

易证不难