离散数学:半群,独异点

半群定义,独异点定义

设 $S$是非空集合,$*$是$S$上的二元运算,如果$*$在$S$上满足封闭性 可结合性 ,则称$<S,*>$是半群

独异点定义

设$<M,*>$是个半群,如果$*$运算有幺元,,则称$<M,*>$是独异点,也称它为含幺半群

可交换半群

设$<M,*>$是个半群,如果$*$运算是可交换的,,则称$<M,*>$是可交换半群

可交换独异点

设$<M,*>$是个独异点,如果$*$运算是可交换的,,则称$<M,*>$是**可交换独异点

子半群

设$<S,*>$是个半群,$B\in S$,如果$*$在$B$上封闭,则称$<B,*>$是$<S,*>$的子半群

子独异点

设$<S,*>$是个独异点,$B\in S$,如果$*$在$B$上封闭,且幺元$e \in B$,则称$<B,*>$是$<S,*>$的子独异点

定理

$<M,*>$是可交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合,则$<A,*>$是$<M,*>$的子独异点**

:::tip

显然$A \in M$,只需证明幺元$e \in A$,以及封闭性即可!

:::

证明:

(1)证$e \in A$

因为 $e * e =e$,e是幂等元,由题意,$e \in A$

(2) 证$*$在A上封闭

任取 $a,b \in A$,于是

$$a * a =a , b*b=b \$$

(ab)(ab)=(aa)(bb)=ab \ 在A上封闭(幂等元),所以 ab \in Aa∗a=a,b∗b=b(a∗b)∗(a∗b)=(a∗a)∗(b∗b)=a∗b在A上封闭(幂等元),所以a∗b∈A

定理得证