离散数学:半群,独异点

半群定义,独异点定义

设 S是非空集合,*是S上的二元运算,如果*在S上满足封闭性 可结合性 ,则称<S,*>是半群

独异点定义

设<M,*>是个半群,如果*运算有幺元,,则称<M,*>是独异点,也称它为含幺半群

可交换半群

设<M,*>是个半群,如果*运算是可交换的,,则称<M,*>是可交换半群

可交换独异点

设<M,*>是个独异点,如果*运算是可交换的,,则称<M,*>是**可交换独异点

子半群

设<S,*>是个半群,B\in S,如果*在B上封闭,则称<B,*>是<S,*>的子半群

子独异点

设<S,*>是个独异点,B\in S,如果*在B上封闭,且幺元e \in B,则称<B,*>是<S,*>的子独异点

定理

<M,*>是可交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合,则<A,*>是<M,*>的子独异点**

:::tip

显然A \in M,只需证明幺元e \in A,以及封闭性即可!

:::

证明:

(1)证e \in A

因为 e * e =e ,e是幂等元,由题意,e \in A

(2) 证*在A上封闭

任取 a,b \in A,于是

a * a =a , b*b=b \\

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)=a*b \\
在A上封闭(幂等元),所以 a*b \in A

定理得证