离散数学:代数系统(一)

先记忆一下基础概念,顺便练习一下\LaTeX{}

LaTeX - A document preparation system

运算律

可交换性

设\circ为S上的二元运算

如果\forall x, y \in S,都有 x \circ y = y \circ x 则称\circ运算是\textbf{可交换的}

可结合性

设\circ为S上的二元运算

如果\forall x, y, z \in S,都有 (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z) 则称\circ运算是\textbf{可结合的}

分配律

设\circ和*为S上的两个二元运算

如果\forall x, y, z \in S,都有 x \circ (y _ z) = (x \circ y) _ (x \circ z) 和 (y _ z) \circ x = (y \circ x) _ (z \circ x) 则称\circ运算对\*运算满足\textbf{分配律}

吸收律

设\circ和*为S上的两个二元运算

如果\forall x, y \in S,都有 x \circ (x _ y) = x 和 x _ (x \circ y) = x 则称\circ和\*运算满足\textbf{吸收律}

消去律

设\circ为S上的二元运算

如果\forall x, y, z \in S,当x \neq z时 x \circ y = x \circ z \implies y = z 和 y \circ x = z \circ x \implies y = z 则称\circ运算满足\textbf{消去律}

如果\circ运算满足左消去律和右消去律，则称其满足消去律。

特殊元

幂等元

设\circ为S上的二元运算

\forall x \in S ; x\circ x=x 则称\circ运算适合 \textbf{幂等律}

\exists x \in S ; x\circ x=x 则称x 为运算\circ 的 \textbf{幂等元}

幺元(单位元)

设\circ为S上的二元运算

如果\exists e_l(或e_r),使得\forall x \in S 都有 e_l \circ x =x (或 x \circ e_r =x) 则称e_l(或e_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左幺元}(或\textbf{右幺元)} 若e关于\circ运算既是左幺元又是右幺元,则称e为S上关于运算\circ的\textbf{幺元}

零元

设\circ为S上的二元运算

如果\exists z_l(或z_r),使得\forall x \in S 都有 z_l \circ x = z_l (或 x \circ z_r = z_r) 则称z_l(或z_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左零元}(或\textbf{右零元)} 若z关于\circ运算既是左零元又是右零元,则称z为S上关于运算\circ的\textbf{零元}

特别地，如果\circ是可交换的，则左零元和右零元相等，统称为零元。

逆元

设\circ为S上的二元运算，且e为S上关于\circ运算的幺元

如果\forall x \in S,\exists y \in S,使得 y \circ x = e (或 x \circ y = e) 则称y为x关于\circ运算的\textbf{左逆元}(或\textbf{右逆元)} 若y关于\circ运算既是x的左逆元又是右逆元,则称y为x关于\circ运算的\textbf{逆元}

如果每个元素都有逆元，则称该代数结构关于\circ运算是可逆的。