离散数学:代数系统(一)

先记忆一下基础概念,顺便练习一下$\LaTeX{}$

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运算律

可交换性

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y \in S,都有$
$x \circ y = y \circ x$
$则称\circ运算是\textbf{可交换的}$

可结合性

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y, z \in S,都有$
$(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$
$则称\circ运算是\textbf{可结合的}$

分配律

$设\circ和*为S上的两个二元运算$

$如果\forall x, y, z \in S,都有$
$x \circ (y * z) = (x \circ y) * (x \circ z)$
$和 (y * z) \circ x = (y \circ x) * (z \circ x)$
$则称\circ运算对*运算满足\textbf{分配律}$

吸收律

$设\circ和*为S上的两个二元运算$

$如果\forall x, y \in S,都有$
$x \circ (x * y) = x$
$和 x * (x \circ y) = x$
$则称\circ和*运算满足\textbf{吸收律}$

消去律

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y, z \in S,当x \neq z时$
$x \circ y = x \circ z \implies y = z$
$和 y \circ x = z \circ x \implies y = z$
$则称\circ运算满足\textbf{消去律}$

如果$\circ$运算满足左消去律和右消去律，则称其满足消去律。

特殊元

幂等元

$设\circ为S上的二元运算$

$\forall x \in S$ ; $x\circ x=x$
$则称\circ运算适合 \textbf{幂等律}$

$\exists x \in S$ ; $x\circ x=x$
则称$x 为运算\circ 的 \textbf{幂等元}$

幺元(单位元)

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\exists e_l(或e_r),使得\forall x \in S 都有$
$e_l \circ x =x (或 x \circ e_r =x)$
$则称e_l(或e_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左幺元}(或\textbf{右幺元)}$
$若e关于\circ运算既是左幺元又是右幺元,则称e为S上关于运算\circ的\textbf{幺元}$

零元

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\exists z_l(或z_r),使得\forall x \in S 都有$
$z_l \circ x = z_l (或 x \circ z_r = z_r)$
$则称z_l(或z_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左零元}(或\textbf{右零元)}$
$若z关于\circ运算既是左零元又是右零元,则称z为S上关于运算\circ的\textbf{零元}$

特别地，如果$\circ$是可交换的，则左零元和右零元相等，统称为零元。

逆元

$设\circ为S上的二元运算，且e为S上关于\circ运算的幺元$

$如果\forall x \in S,\exists y \in S,使得$
$y \circ x = e (或 x \circ y = e)$
$则称y为x关于\circ运算的\textbf{左逆元}(或\textbf{右逆元)}$
$若y关于\circ运算既是x的左逆元又是右逆元,则称y为x关于\circ运算的\textbf{逆元}$

如果每个元素都有逆元，则称该代数结构关于$\circ$运算是可逆的。