代数系统的基本性质
同构
同构是代数系统之间的一种重要关系,用符号 ≅ 表示。若两个代数系统 (A,⋆) 和 (B,∘) 之间存在同构,则记作 (A,⋆)≅(B,∘)。
同构的性质
1. 自反性
定理:任意代数系统与自身同构。
证明:
对于任意代数系统 (A,⋆),存在恒等映射 f:A→A,对于任意 a∈A,有 f(a)=a。
对任意 a,b∈A,有:
f(a⋆b)=a⋆b=f(a)⋆f(b)
所以恒等映射 f 是从系统 (A,⋆) 到自身的同构,即 (A,⋆)≅(A,⋆)。
2. 对称性
定理:若 (A,⋆)≅(B,∘),则 (B,∘)≅(A,⋆)。
证明:
已知 y=f(x), x=f−1(y)
证明 f−1(y1∘y2)=f−1(y1)⋆f−1(y2) 与 f(x1⋆x2)=f(x1)∘f(x2) 等价:
-
用已知条件替换:
f−1(f(x1)∘f(x2))=f−1(f(x1))⋆f−1(f(x2))
-
两边再套 f,消去 f−1:
f(x1⋆x2)=f(x1)∘f(x2)
更一般地,若 (A,⋆)≅(B,∘),则存在双射 f:A→B 满足 f(a⋆b)=f(a)∘f(b)。
构造 f−1:B→A,则有 f−1(f(a))=a 对任意 a∈A 成立。
对于任意 y1,y2∈B,设 x1=f−1(y1),x2=f−1(y2),则:
f−1(y1∘y2)=f−1(f(x1)∘f(x2))=f−1(f(x1⋆x2))=x1⋆x2=f−1(y1)⋆f−1(y2)
因此 f−1 是从 (B,∘) 到 (A,⋆) 的同构映射,即 (B,∘)≅(A,⋆)。
3. 传递性
定理:若 (A,⋆)≅(B,∘) 且 (B,∘)≅(C,∙),则 (A,⋆)≅(C,∙)。
证明:
设 f:A→B 是 (A,⋆) 到 (B,∘) 的同构映射,即 f(a1⋆a2)=f(a1)∘f(a2)。
设 g:B→C 是 (B,∘) 到 (C,∙) 的同构映射,即 g(b1∘b2)=g(b1)∙g(b2)。
构造复合映射 h=g∘f:A→C,对于任意 a1,a2∈A,有:
h(a1⋆a2)=g(f(a1⋆a2))=g(f(a1)∘f(a2))=g(f(a1))∙g(f(a2))=h(a1)∙h(a2)
由于 f 和 g 都是双射,h=g∘f 也是双射,因此 h 是从 (A,⋆) 到 (C,∙) 的同构映射,即 (A,⋆)≅(C,∙)。
同构的保持性质
1. 保持结合律
定理:若 (A,⋆)≅(B,∘),且 ⋆ 在 A 上具有结合律,则 ∘ 在 B 上也具有结合律。
证明:
设 f:A→B 是 (A,⋆) 到 (B,∘) 的同构映射。对于任意 b1,b2,b3∈B,
由于 f 是满射,存在 a1,a2,a3∈A,使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2,f(a3)=b3。
(b1∘b2)∘b3=(f(a1)∘f(a2))∘f(a3)=f(a1⋆a2)∘f(a3)=f((a1⋆a2)⋆a3)
由于 ⋆ 满足结合律,有 (a1⋆a2)⋆a3=a1⋆(a2⋆a3),因此:
f((a1⋆a2)⋆a3)=f(a1⋆(a2⋆a3))=f(a1)∘f(a2⋆a3)=f(a1)∘(f(a2)∘f(a3))=b1∘(b2∘b3)
因此 (b1∘b2)∘b3=b1∘(b2∘b3),∘ 在 B 上具有结合律。
2. 保持交换律
定理:若 (A,⋆)≅(B,∘),且 ⋆ 在 A 上具有交换律,则 ∘ 在 B 上也具有交换律。
证明:
设 f:A→B 是 (A,⋆) 到 (B,∘) 的同构映射。对于任意 b1,b2∈B,
存在 a1,a2∈A,使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2。
b1∘b2=f(a1)∘f(a2)=f(a1⋆a2)
由于 ⋆ 满足交换律,有 a1⋆a2=a2⋆a1,因此:
f(a1⋆a2)=f(a2⋆a1)=f(a2)∘f(a1)=b2∘b1
因此 b1∘b2=b2∘b1,∘ 在 B 上具有交换律。
3. 保持幺元、零元和逆元
定理:若 (A,⋆)≅(B,∘),则:
- 若 eA 是 (A,⋆) 的幺元,则 f(eA) 是 (B,∘) 的幺元。
- 若 zA 是 (A,⋆) 的零元,则 f(zA) 是 (B,∘) 的零元。
- 若 a−1 是 a 在 (A,⋆) 中的逆元,则 f(a−1) 是 f(a) 在 (B,∘) 中的逆元。
证明(幺元):
设 f:A→B 是从 (A,⋆) 到 (B,∘) 的同构映射,eA 是 (A,⋆) 的幺元。
对任意 b∈B,存在唯一的 a∈A 使得 f(a)=b。
b∘f(eA)=f(a)∘f(eA)=f(a⋆eA)=f(a)=b
f(eA)∘b=f(eA)∘f(a)=f(eA⋆a)=f(a)=b
因此 f(eA) 是 (B,∘) 的幺元。(零元和逆元的证明类似)
4. 保持分配率
定理:若 (A,⋆,⋄)≅(B,∘,△),且 ⋄ 对 ⋆ 满足分配率,则 △ 对 ∘ 也满足分配率。
证明:
设 f:A→B 是同构映射,满足 f(a1⋆a2)=f(a1)∘f(a2) 和 f(a1⋄a2)=f(a1)△f(a2)。
若 ⋄ 对 ⋆ 满足左分配律,即 a1⋄(a2⋆a3)=(a1⋄a2)⋆(a1⋄a3),则对于任意 b1,b2,b3∈B,设 f(ai)=bi:
b1△(b2∘b3)=f(a1)△(f(a2)∘f(a3))=f(a1)△f(a2⋆a3)=f(a1⋄(a2⋆a3))=f((a1⋄a2)⋆(a1⋄a3))=f(a1⋄a2)∘f(a1⋄a3)=(b1△b2)∘(b1△b3)
因此 △ 对 ∘ 满足左分配律。右分配律的证明类似。
5. 保持吸收率
定理:若 (A,⋆,⋄)≅(B,∘,△),且 (A,⋆,⋄) 满足吸收律,则 (B,∘,△) 也满足吸收律。
证明:
设 f:A→B 是同构映射,(A,⋆,⋄) 满足吸收律:a1⋆(a1⋄a2)=a1 和 a1⋄(a1⋆a2)=a1。
对于任意 b1,b2∈B,存在 a1,a2∈A,使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2。
b1∘(b1△b2)=f(a1)∘(f(a1)△f(a2))=f(a1)∘f(a1⋄a2)=f(a1⋆(a1⋄a2))=f(a1)=b1
类似地:
b1△(b1∘b2)=f(a1)△(f(a1)∘f(a2))=f(a1)△f(a1⋆a2)=f(a1⋄(a1⋆a2))=f(a1)=b1
因此 (B,∘,△) 也满足吸收律。
同态核
定义
设 f:(A,⋆)→(B,∘) 是一个同态映射,则 f 的同态核(也称为核)定义为:
Ker(f)={a∈A∣f(a)=eB}
其中 eB 是代数系统 (B,∘) 的单位元(幺元)。
同态核的性质
-
闭包性:若 a,b∈Ker(f),则 a⋆b∈Ker(f)
证明:因为 a,b∈Ker(f),所以 f(a)=eB,f(b)=eB
f(a⋆b)=f(a)∘f(b)=eB∘eB=eB
因此 a⋆b∈Ker(f)
-
幺元属于核:若 (A,⋆) 有幺元 eA,则 eA∈Ker(f)
证明:由同态的性质,f(eA) 是 (B,∘) 的幺元,即 f(eA)=eB,
因此 eA∈Ker(f)
-
正规子群性质:若 (A,⋆) 是群,则 Ker(f) 是 (A,⋆) 的正规子群
证明:
-
由性质1和2,Ker(f) 是非空的,并且对 ⋆ 运算封闭
-
对任意 a∈Ker(f),其逆元 a−1 满足:
f(a−1)=f(a)−1=eB−1=eB
因此 a−1∈Ker(f)
-
对任意 x∈A 和 a∈Ker(f):
f(x⋆a⋆x−1)=f(x)∘f(a)∘f(x−1)=f(x)∘eB∘f(x)−1=f(x)∘f(x)−1=eB
因此 x⋆a⋆x−1∈Ker(f),这证明了 Ker(f) 是正规子群
同态核与同构的关系
定理:设 f:(A,⋆)→(B,∘) 是满同态,则 f 是同构当且仅当 Ker(f)={eA}。
证明:
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若 f 是同构,则 f 是双射,特别是单射。对任意 a∈A,若 f(a)=eB,则 a=eA(因为 f(eA)=eB)。所以 Ker(f)={eA}。
-
反之,若 Ker(f)={eA},则对任意 a,b∈A,如果 f(a)=f(b),则:
f(a⋆b−1)=f(a)∘f(b)−1=f(a)∘f(a)−1=eB
因此 a⋆b−1∈Ker(f)={eA},即 a⋆b−1=eA,所以 a=b。
这证明了 f 是单射,结合 f 是满射的条件,f 是双射,即同构。
后记
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