代数系统的基本性质

同构

同构是代数系统之间的一种重要关系,用符号 \cong 表示。若两个代数系统 (A,)(A, \star)(B,)(B, \circ) 之间存在同构,则记作 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ)

同构的性质

1. 自反性

定理:任意代数系统与自身同构。

证明
对于任意代数系统 (A,)(A, \star),存在恒等映射 f:AAf: A \rightarrow A,对于任意 aAa \in A,有 f(a)=af(a) = a

对任意 a,bAa, b \in A,有:

f(ab)=ab=f(a)f(b)f(a \star b) = a \star b = f(a) \star f(b)

所以恒等映射 ff 是从系统 (A,)(A, \star) 到自身的同构,即 (A,)(A,)(A, \star) \cong (A, \star)

2. 对称性

定理:若 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ),则 (B,)(A,)(B, \circ) \cong (A, \star)

证明
已知 y=f(x)y=f(x), x=f1(y)x=f^{-1}(y)

证明 f1(y1y2)=f1(y1)f1(y2)f^{-1}(y_1 \circ y_2)=f^{-1}(y_1)\star f^{-1}(y_2)f(x1x2)=f(x1)f(x2)f(x_1 \star x_2)=f(x_1)\circ f(x_2) 等价:

  1. 用已知条件替换:

    f1(f(x1)f(x2))=f1(f(x1))f1(f(x2))f^{-1}(f(x_1) \circ f(x_2)) = f^{-1}(f(x_1))\star f^{-1}(f(x_2))

  2. 两边再套 ff,消去 f1f^{-1}

    f(x1x2)=f(x1)f(x2)f(x_1\star x_2) = f(x_1) \circ f(x_2)

更一般地,若 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ),则存在双射 f:ABf: A \rightarrow B 满足 f(ab)=f(a)f(b)f(a \star b) = f(a) \circ f(b)

构造 f1:BAf^{-1}: B \rightarrow A,则有 f1(f(a))=af^{-1}(f(a)) = a 对任意 aAa \in A 成立。

对于任意 y1,y2By_1, y_2 \in B,设 x1=f1(y1),x2=f1(y2)x_1 = f^{-1}(y_1), x_2 = f^{-1}(y_2),则:

f1(y1y2)=f1(f(x1)f(x2))=f1(f(x1x2))=x1x2=f1(y1)f1(y2)f^{-1}(y_1 \circ y_2) = f^{-1}(f(x_1) \circ f(x_2)) = f^{-1}(f(x_1 \star x_2)) = x_1 \star x_2 = f^{-1}(y_1) \star f^{-1}(y_2)

因此 f1f^{-1} 是从 (B,)(B, \circ)(A,)(A, \star) 的同构映射,即 (B,)(A,)(B, \circ) \cong (A, \star)

3. 传递性

定理:若 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ)(B,)(C,)(B, \circ) \cong (C, \bullet),则 (A,)(C,)(A, \star) \cong (C, \bullet)

证明
f:ABf: A \rightarrow B(A,)(A, \star)(B,)(B, \circ) 的同构映射,即 f(a1a2)=f(a1)f(a2)f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \circ f(a_2)
g:BCg: B \rightarrow C(B,)(B, \circ)(C,)(C, \bullet) 的同构映射,即 g(b1b2)=g(b1)g(b2)g(b_1 \circ b_2) = g(b_1) \bullet g(b_2)

构造复合映射 h=gf:ACh = g \circ f: A \rightarrow C,对于任意 a1,a2Aa_1, a_2 \in A,有:

h(a1a2)=g(f(a1a2))=g(f(a1)f(a2))=g(f(a1))g(f(a2))=h(a1)h(a2)h(a_1 \star a_2) = g(f(a_1 \star a_2)) = g(f(a_1) \circ f(a_2)) = g(f(a_1)) \bullet g(f(a_2)) = h(a_1) \bullet h(a_2)

由于 ffgg 都是双射,h=gfh = g \circ f 也是双射,因此 hh 是从 (A,)(A, \star)(C,)(C, \bullet) 的同构映射,即 (A,)(C,)(A, \star) \cong (C, \bullet)

同构的保持性质

1. 保持结合律

定理:若 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ),且 \starAA 上具有结合律,则 \circBB 上也具有结合律。

证明
f:ABf: A \rightarrow B(A,)(A, \star)(B,)(B, \circ) 的同构映射。对于任意 b1,b2,b3Bb_1, b_2, b_3 \in B
由于 ff 是满射,存在 a1,a2,a3Aa_1, a_2, a_3 \in A,使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2,f(a3)=b3f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2, f(a_3) = b_3

(b1b2)b3=(f(a1)f(a2))f(a3)=f(a1a2)f(a3)=f((a1a2)a3)(b_1 \circ b_2) \circ b_3 = (f(a_1) \circ f(a_2)) \circ f(a_3) = f(a_1 \star a_2) \circ f(a_3) = f((a_1 \star a_2) \star a_3)

由于 \star 满足结合律,有 (a1a2)a3=a1(a2a3)(a_1 \star a_2) \star a_3 = a_1 \star (a_2 \star a_3),因此:

f((a1a2)a3)=f(a1(a2a3))=f(a1)f(a2a3)=f(a1)(f(a2)f(a3))=b1(b2b3)f((a_1 \star a_2) \star a_3) = f(a_1 \star (a_2 \star a_3)) = f(a_1) \circ f(a_2 \star a_3) = f(a_1) \circ (f(a_2) \circ f(a_3)) = b_1 \circ (b_2 \circ b_3)

因此 (b1b2)b3=b1(b2b3)(b_1 \circ b_2) \circ b_3 = b_1 \circ (b_2 \circ b_3)\circBB 上具有结合律。

2. 保持交换律

定理:若 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ),且 \starAA 上具有交换律,则 \circBB 上也具有交换律。

证明
f:ABf: A \rightarrow B(A,)(A, \star)(B,)(B, \circ) 的同构映射。对于任意 b1,b2Bb_1, b_2 \in B
存在 a1,a2Aa_1, a_2 \in A,使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2

b1b2=f(a1)f(a2)=f(a1a2)b_1 \circ b_2 = f(a_1) \circ f(a_2) = f(a_1 \star a_2)

由于 \star 满足交换律,有 a1a2=a2a1a_1 \star a_2 = a_2 \star a_1,因此:

f(a1a2)=f(a2a1)=f(a2)f(a1)=b2b1f(a_1 \star a_2) = f(a_2 \star a_1) = f(a_2) \circ f(a_1) = b_2 \circ b_1

因此 b1b2=b2b1b_1 \circ b_2 = b_2 \circ b_1\circBB 上具有交换律。

3. 保持幺元、零元和逆元

定理:若 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ),则:

  1. eAe_A(A,)(A, \star) 的幺元,则 f(eA)f(e_A)(B,)(B, \circ) 的幺元。
  2. zAz_A(A,)(A, \star) 的零元,则 f(zA)f(z_A)(B,)(B, \circ) 的零元。
  3. a1a^{-1}aa(A,)(A, \star) 中的逆元,则 f(a1)f(a^{-1})f(a)f(a)(B,)(B, \circ) 中的逆元。

证明(幺元)
f:ABf: A \rightarrow B 是从 (A,)(A, \star)(B,)(B, \circ) 的同构映射,eAe_A(A,)(A, \star) 的幺元。
对任意 bBb \in B,存在唯一的 aAa \in A 使得 f(a)=bf(a) = b

bf(eA)=f(a)f(eA)=f(aeA)=f(a)=bb \circ f(e_A) = f(a) \circ f(e_A) = f(a \star e_A) = f(a) = b

f(eA)b=f(eA)f(a)=f(eAa)=f(a)=bf(e_A) \circ b = f(e_A) \circ f(a) = f(e_A \star a) = f(a) = b

因此 f(eA)f(e_A)(B,)(B, \circ) 的幺元。(零元和逆元的证明类似)

4. 保持分配率

定理:若 (A,,)(B,,)(A, \star, \diamond) \cong (B, \circ, \triangle),且 \diamond\star 满足分配率,则 \triangle\circ 也满足分配率。

证明
f:ABf: A \rightarrow B 是同构映射,满足 f(a1a2)=f(a1)f(a2)f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \circ f(a_2)f(a1a2)=f(a1)f(a2)f(a_1 \diamond a_2) = f(a_1) \triangle f(a_2)

\diamond\star 满足左分配律,即 a1(a2a3)=(a1a2)(a1a3)a_1 \diamond (a_2 \star a_3) = (a_1 \diamond a_2) \star (a_1 \diamond a_3),则对于任意 b1,b2,b3Bb_1, b_2, b_3 \in B,设 f(ai)=bif(a_i) = b_i

b1(b2b3)=f(a1)(f(a2)f(a3))=f(a1)f(a2a3)=f(a1(a2a3))=f((a1a2)(a1a3))=f(a1a2)f(a1a3)=(b1b2)(b1b3)\begin{align} b_1 \triangle (b_2 \circ b_3) &= f(a_1) \triangle (f(a_2) \circ f(a_3)) \\ &= f(a_1) \triangle f(a_2 \star a_3) \\ &= f(a_1 \diamond (a_2 \star a_3)) \\ &= f((a_1 \diamond a_2) \star (a_1 \diamond a_3)) \\ &= f(a_1 \diamond a_2) \circ f(a_1 \diamond a_3) \\ &= (b_1 \triangle b_2) \circ (b_1 \triangle b_3) \end{align}

因此 \triangle\circ 满足左分配律。右分配律的证明类似。

5. 保持吸收率

定理:若 (A,,)(B,,)(A, \star, \diamond) \cong (B, \circ, \triangle),且 (A,,)(A, \star, \diamond) 满足吸收律,则 (B,,)(B, \circ, \triangle) 也满足吸收律。

证明
f:ABf: A \rightarrow B 是同构映射,(A,,)(A, \star, \diamond) 满足吸收律:a1(a1a2)=a1a_1 \star (a_1 \diamond a_2) = a_1a1(a1a2)=a1a_1 \diamond (a_1 \star a_2) = a_1

对于任意 b1,b2Bb_1, b_2 \in B,存在 a1,a2Aa_1, a_2 \in A,使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2

b1(b1b2)=f(a1)(f(a1)f(a2))=f(a1)f(a1a2)=f(a1(a1a2))=f(a1)=b1\begin{align} b_1 \circ (b_1 \triangle b_2) &= f(a_1) \circ (f(a_1) \triangle f(a_2)) \\ &= f(a_1) \circ f(a_1 \diamond a_2) \\ &= f(a_1 \star (a_1 \diamond a_2)) \\ &= f(a_1) \\ &= b_1 \end{align}

类似地:

b1(b1b2)=f(a1)(f(a1)f(a2))=f(a1)f(a1a2)=f(a1(a1a2))=f(a1)=b1\begin{align} b_1 \triangle (b_1 \circ b_2) &= f(a_1) \triangle (f(a_1) \circ f(a_2)) \\ &= f(a_1) \triangle f(a_1 \star a_2) \\ &= f(a_1 \diamond (a_1 \star a_2)) \\ &= f(a_1) \\ &= b_1 \end{align}

因此 (B,,)(B, \circ, \triangle) 也满足吸收律。

同态核

定义

f:(A,)(B,)f: (A, \star) \rightarrow (B, \circ) 是一个同态映射,则 ff 的同态核(也称为核)定义为:

Ker(f)={aAf(a)=eB}\text{Ker}(f) = \{a \in A | f(a) = e_B\}

其中 eBe_B 是代数系统 (B,)(B, \circ) 的单位元(幺元)。

同态核的性质

  1. 闭包性:若 a,bKer(f)a, b \in \text{Ker}(f),则 abKer(f)a \star b \in \text{Ker}(f)

    证明:因为 a,bKer(f)a, b \in \text{Ker}(f),所以 f(a)=eB,f(b)=eBf(a) = e_B, f(b) = e_B

    f(ab)=f(a)f(b)=eBeB=eBf(a \star b) = f(a) \circ f(b) = e_B \circ e_B = e_B

    因此 abKer(f)a \star b \in \text{Ker}(f)

  2. 幺元属于核:若 (A,)(A, \star) 有幺元 eAe_A,则 eAKer(f)e_A \in \text{Ker}(f)

    证明:由同态的性质,f(eA)f(e_A)(B,)(B, \circ) 的幺元,即 f(eA)=eBf(e_A) = e_B
    因此 eAKer(f)e_A \in \text{Ker}(f)

  3. 正规子群性质:若 (A,)(A, \star) 是群,则 Ker(f)\text{Ker}(f)(A,)(A, \star) 的正规子群

    证明

    • 由性质1和2,Ker(f)\text{Ker}(f) 是非空的,并且对 \star 运算封闭

    • 对任意 aKer(f)a \in \text{Ker}(f),其逆元 a1a^{-1} 满足:

      f(a1)=f(a)1=eB1=eBf(a^{-1}) = f(a)^{-1} = e_B^{-1} = e_B

      因此 a1Ker(f)a^{-1} \in \text{Ker}(f)

    • 对任意 xAx \in AaKer(f)a \in \text{Ker}(f)

      f(xax1)=f(x)f(a)f(x1)=f(x)eBf(x)1=f(x)f(x)1=eBf(x \star a \star x^{-1}) = f(x) \circ f(a) \circ f(x^{-1}) = f(x) \circ e_B \circ f(x)^{-1} = f(x) \circ f(x)^{-1} = e_B

      因此 xax1Ker(f)x \star a \star x^{-1} \in \text{Ker}(f),这证明了 Ker(f)\text{Ker}(f) 是正规子群

同态核与同构的关系

定理:设 f:(A,)(B,)f: (A, \star) \rightarrow (B, \circ) 是满同态,则 ff 是同构当且仅当 Ker(f)={eA}\text{Ker}(f) = \{e_A\}

证明

  • ff 是同构,则 ff 是双射,特别是单射。对任意 aAa \in A,若 f(a)=eBf(a) = e_B,则 a=eAa = e_A(因为 f(eA)=eBf(e_A) = e_B)。所以 Ker(f)={eA}\text{Ker}(f) = \{e_A\}

  • 反之,若 Ker(f)={eA}\text{Ker}(f) = \{e_A\},则对任意 a,bAa, b \in A,如果 f(a)=f(b)f(a) = f(b),则:

    f(ab1)=f(a)f(b)1=f(a)f(a)1=eBf(a \star b^{-1}) = f(a) \circ f(b)^{-1} = f(a) \circ f(a)^{-1} = e_B

    因此 ab1Ker(f)={eA}a \star b^{-1} \in \text{Ker}(f) = \{e_A\},即 ab1=eAa \star b^{-1} = e_A,所以 a=ba = b
    这证明了 ff 是单射,结合 ff 是满射的条件,ff 是双射,即同构。

后记

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