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离散数学:环与域

环定义

给定代数系统<A,+,>,+A上的二元运算,若满足下面条件<A,+,*>,+和*是A上的二元运算,若满足下面条件

(1)<A,+>是交换群(1) <A,+>是交换群

(2)<A,>是半群(2) <A,*>是半群

(3)+可分配.即对任何a,b,cA,a(b+c)=(ab)+(ac)(a+b)c=(ac)+(bc)*对+可分配.即对任何a,b,c \in A ,有\\a*(b+c)=(a*b)+(a*c)及(a+b)*c=(a*c)+(b*c)

则称<A,+,><A,+,*>

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离散数学:子群的陪集及拉格朗日定理

子群的陪集

定义

<H,><H,*>是群<G,><G,*>的子群,aGa \in G,定义集合

aH={ahhH}aH=\{a*h|h \in H\}

Ha={hahH}Ha=\{h*a |h \in H\}

则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集.

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离散数学:子群及其证明

子群的定义

<G,><G,*>是群,S是G的非空子集,如果<S,><S,*>满足:

(1) 对 a,bS\forall a,b \in S均有abSa*b \in S (封闭性)

(2) 幺元eSe \in S (有幺元)

(3) 对 aS\forall a \in S ,有a1Sa^{-1} \in S (可逆)

💡

显而易见,结合性不证自明,略

则称<S,><S,*><G,><G,*>的子群

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离散数学:群的定义及性质

定义

<G,><G,*>是代数系统,如果*在G上满足**封闭性,可结合性,<G,><G,*>中有幺元,且G中每一个元素均可逆

则称<G,><G,*>是群

细分定义

(1)设<G,><G,*>是群,若集合G是有限集,则称<G,><G,*>是有限群.反之则为无限群

(2)只含有幺元的群叫平凡群

(3)若*运算时可交换的,则称<G,><G,*>交换群阿贝尔群

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离散数学:半群,独异点

半群定义,独异点定义

SS是非空集合,*SS上的二元运算,如果*SS上满足封闭性 可结合性 ,则称<S,><S,*>半群

独异点定义

<M,><M,*>是个半群,如果*运算有幺元,则称<M,><M,*>独异点,也称它为含幺半群

可交换半群

<M,><M,*>是个半群,如果*运算是可交换的,则称<M,><M,*>可交换半群

可交换独异点

<M,><M,*>是个独异点,如果*运算是可交换的,则称<M,><M,*>是**可交换独异点

子半群

<S,><S,*>是个半群,BSB\in S,如果*BB上封闭,则称<B,><B,*><S,><S,*>的子半群

子独异点

<S,><S,*>是个独异点,BSB\in S,如果*BB上封闭,且幺元eBe \in B,则称<B,><B,*><S,><S,*>的子独异点

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《人工智能生成合成内容标识办法》与个人博客--我们应该做什么?

先引述一下图片,我觉得除了标识义务,还有其它方面需要探讨

关于印发《人工智能生成合成内容标识办法》的通知_中央网络安全和信息化委员会办公室

9月1日起,AI生成合成内容必须添加标识

2025-03-17-161316

现在AI开始融入生活生产的各个方面,随着法律法规陆续出台落地,作为文章输出的根据地:个人博客,应该如何对待,做好合规性工作,避免未来陷入不必要的麻烦?

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通识学习:形式语言与自动机,布尔代数与数进制

这一周的学习环环相扣

概览

好多东西都是似曾相识的.要么是在上学期就讲过,要么是中学时期就有过了解.这学期开学一周,所学到的基础知识有这几点:

课程 内容
形式语言与自动机 计算理论学的,在编译原理的课上,老师又给大家讲了一遍
布尔代数 真(11)假(00).与或非这些个概念早年在高中时期学集合论的时候有过了解
进制转换 2,8,10,16等等,都是比较常用的进制了
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离散数学:代数系统(二)

代数系统的基本性质

同构

同构是代数系统之间的一种重要关系,用符号 \cong 表示。若两个代数系统 (A,)(A, \star)(B,)(B, \circ) 之间存在同构,则记作 (A,)(B,)(A, \star) \cong (B, \circ)

同构的性质

1. 自反性

定理:任意代数系统与自身同构。

证明
对于任意代数系统 (A,)(A, \star),存在恒等映射 f:AAf: A \rightarrow A,对于任意 aAa \in A,有 f(a)=af(a) = a

对任意 a,bAa, b \in A,有:

f(ab)=ab=f(a)f(b)f(a \star b) = a \star b = f(a) \star f(b)

所以恒等映射 ff 是从系统 (A,)(A, \star) 到自身的同构,即 (A,)(A,)(A, \star) \cong (A, \star)

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离散数学:代数系统(一)

先记忆一下基础概念,顺便练习一下LaTeX\LaTeX{}

LaTeX - A document preparation system

运算律

可交换性

S上的二元运算设\circ为S上的二元运算

如果x,yS,都有如果\forall x, y \in S,都有
xy=yx x \circ y = y \circ x
则称运算是可交换的则称\circ运算是\textbf{可交换的}