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计算机组成原理第二章 - 定点数与浮点数

📚 基础知识回顾

1. 🔄 数的进制转换

1.1 十进制转其他进制

🎯 核心方法：

• 整数部分：除基数取余法
• 小数部分：乘基数取整法

📝 十进制转二进制（整数）

方法：除 2 取余法，余数倒序排列

示例：(42)_{10} \rightarrow (?)_2

\begin{aligned}
42 \div 2 &= 21 \cdots 0\\
21 \div 2 &= 10 \cdots 1\\
10 \div 2 &= 5  \cdots 0\\
5  \div 2 &= 2  \cdots 1\\
2  \div 2 &= 1  \cdots 0\\
1  \div 2 &= 0  \cdots 1
\end{aligned}

✅ 结果： (42)_{10} = (101010)_2

📝 十进制转十六进制

示例：(255)_{10} \rightarrow (?)_{16}

\begin{aligned}
255 \div 16 &= 15 \cdots 15_{(F)}\\
15  \div 16 &= 0  \cdots 15_{(F)}
\end{aligned}

✅ 结果： (255)_{10} = (FF)_{16}

1.2 其他进制转十进制

🎯 核心公式：

N = \sum_{i=-m}^{n} d_i \times r^i

其中：r 为基数，d_i 为各位数字，i 为权值

📝 示例1： (1011.01)_2 \rightarrow (?)_{10}

\begin{aligned}
&= 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}\\
&= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25\\
&= (11.25)_{10}
\end{aligned}

📝 示例2： (2A.F)_{16} \rightarrow (?)_{10}

\begin{aligned}
&= 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 + 15 \times 16^{-1}\\
&= 32 + 10 + 0.9375\\
&= (42.9375)_{10}
\end{aligned}

1.3 小数转换详解

📝 示例： (13.625)_{10} \rightarrow (?)_2

整数部分： 13_{10} = 1101_2

小数部分（乘2取整法）：

\begin{aligned}
0.625 \times 2 &= 1.25 \quad \text{取整：} 1\\
0.25  \times 2 &= 0.5  \quad \text{取整：} 0\\
0.5   \times 2 &= 1.0  \quad \text{取整：} 1
\end{aligned}

✅ 结果： (13.625)_{10} = (1101.101)_2

2. 🔢 负数表示方法

2.1 原码、反码、补码对比

📝 示例（8位）：

2.2 补码的优势

⚡ 关键优势：

1. 零的唯一表示
2. 加减法运算统一
3. 硬件实现简单
4. 表数范围最大

📝 补码范围： n 位补码表示范围为 [-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]

🎯 定点数表示

1. 📖 定点数基础概念

1.1 定义与分类

🔑 定点数： 小数点位置固定的数值表示方法

💾 存储格式： 符号位(1位) + 数值位(n位) = 总长度 n+1 位

1.2 关键特性对比

2. 📊 定点数表示范围

2.1 定点小数（纯小数）

📋 范围对比表：

📝 示例（8位定点小数，n=7）：

• 补码范围： [-1.0000000, +0.1111111] 即 [-1, 0.9921875]

2.2 定点整数（纯整数）

📋 范围对比表：

📝 示例（8位定点整数，n=7）：

• 补码范围： [-128, +127]

3. 🔄 数制转换详解

3.1 十进制 → 二进制定点数

🎯 定点小数转换步骤：

📝 示例： 0.625_{10} \rightarrow 8位定点小数

\begin{aligned}
0.625 \times 2 &= 1.25 \quad \text{取整：} 1, \text{余：} 0.25\\
0.25 \times 2 &= 0.5  \quad \text{取整：} 0, \text{余：} 0.5\\
0.5 \times 2 &= 1.0  \quad \text{取整：} 1, \text{余：} 0
\end{aligned}

✅ 结果： 0.625_{10} = 0.101_2 = 0\,1010000_{\text{补}}

🎯 定点整数转换：

📝 示例： 5_{10} \rightarrow 8位定点整数

步骤： 5_{10} = 101_2 \rightarrow 0\,0000101_{\text{补}}

3.2 二进制定点数 → 十进制

🎯 定点小数转换公式：

X = \sum_{i=1}^{n} b_i \times 2^{-i}

📝 示例： 1\,0110000_{\text{补}} → 十进制

步骤：

1. 符号位为1，表示负数
2. 数值位：0110000
3. 按权展开：0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} + 0 + \cdots = 0.25 + 0.125 = 0.375
4. 补码转换：先减1得反码 1\,0001111，再取反得原码 1\,1110000
5. 结果： -0.875

🎯 定点整数转换公式：

X = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^{i}

3.3 编码转换规则

🔄 原码 ↔ 补码：

📝 示例： -5 的编码转换（8位）

\begin{aligned}
\text{原码：} &\quad 1\,0000101\\
\text{反码：} &\quad 1\,1111010\\
\text{补码：} &\quad 1\,1111011
\end{aligned}

4. ⚡ 定点数运算

4.1 补码加减法

🎯 运算规则：

[A \pm B]_{\text{补}} = [A]_{\text{补}} \pm [B]_{\text{补}}

📝 示例： (-5) + 3（8位）

\begin{aligned}
-5: &\quad 1\,1111011\\
+3: &\quad 0\,0000011\\
\hline
\text{和}: &\quad 1\,1111110 = -2
\end{aligned}

4.2 溢出检测

⚠️ 溢出判断方法：

1. 进位标志法： V = C_{n-1} \oplus C_n
2. 符号检测法： 同号相加结果异号

📝 溢出示例： 127 + 1（8位补码）

\begin{aligned}
127: &\quad 0\,1111111\\
+1:  &\quad 0\,0000001\\
\hline
\text{和}: &\quad 1\,0000000 = -128 \quad \text{（溢出）}
\end{aligned}

检测： C_6 = 1, C_7 = 0 \Rightarrow C_6 \oplus C_7 = 1 → 溢出

5. 💼 定点数应用场景

🌊 浮点数表示

1. 🔬 浮点数核心概念

1.1 通用表示形式

🎯 浮点数公式：

N = (-1)^S \times M \times R^E

参数说明：

• S：符号位（0=正，1=负）
• M：尾数（有效数字）
• E：阶码（指数）
• R：基数（通常为2）

1.2 IEEE 754标准

📋 单精度（32位）格式：

📋 双精度（64位）格式：

📝 转换示例： -0.75_{10} → IEEE 754单精度

步骤：

1. -0.75_{10} = -0.11_2 = -1.1_2 \times 2^{-1}
2. S = 1（负数）
3. E = 126（127 - 1）
4. M = 10000000000000000000000

✅ 结果： 1 01111110 10000000000000000000000

2. 📏 浮点数规格化

2.1 规格化条件

🎯 规格化要求：

\frac{1}{R} \leq |M| < 1 \quad \text{（二进制：} 0.5 \leq |M| < 1\text{）}

📋 补码尾数规格化形式：

2.2 规格化判断表

3. 📈 浮点数表示范围

3.1 IEEE 754单精度范围

3.2 溢出处理

4. 🔢 阶码与移码

4.1 移码定义

🎯 移码公式：

[X]_{\text{移}} = 2^n + X \quad (-2^n \leq X \leq 2^n-1)

💡 移码特性：

• 零的移码为 10\cdots0
• 真值与移码单调递增
• 便于大小比较

4.2 移码对照表

📋 8位移码示例（n=7，偏移量=128）：

5. ⚙️ 浮点数运算

5.1 加减运算流程

graph LR
    A[🔄 对阶] --> B[➕ 尾数加减]
    B --> C[📏 规格化]
    C --> D[🔄 舍入]
    D --> E[⚠️ 溢出判断]

    style A fill:#e1f5fe
    style B fill:#f3e5f5
    style C fill:#e8f5e8
    style D fill:#fff3e0
    style E fill:#ffebee

5.2 运算步骤详解

🔄 步骤1：对阶（小阶向大阶看齐）

📝 示例： X=2^3 \times 0.1101，Y=2^5 \times 0.1010

• 阶差：5-3=2
• X尾数右移2位：X' = 2^5 \times 0.001101

➕ 步骤2：尾数加减

[M_X]_{\text{补}} + [M_Y]_{\text{补}} = 00.001101 + 11.0110 = 11.100101

📏 步骤3：规格化

• 结果：11.100101 → 左规1位 → 11.001010（阶码-1）

🔄 步骤4：舍入

• 0舍1入：11.001010 \rightarrow 11.00101

⚠️ 步骤5：溢出判断

• 检查阶码是否超出范围

5.3 典型运算示例

📝 题目： X=2^7 \times \frac{29}{32}，Y=2^5 \times \frac{5}{8}，求X+Y

条件： 阶码5位，尾数7位（含符号位）

解答过程：

1. 对阶：

   • [X]_{\text{补}} = 00111\,00.11101
   • [Y]_{\text{补}} = 00111\,00.0010100

2. 尾数运算：

   • 00.11101 + 00.00101 = 01.00010 → 尾数溢出

3. 右规处理：

   • 尾数：00.10001，阶码+1 → 01000\,00.10001

4. 溢出判断：

   • 阶码01000超出5位最大值01111 → 上溢

6. 🚨 浮点数特殊值

📋 IEEE 754特殊值编码：

7. ⚠️ 浮点数运算误差

7.1 误差来源

7.2 误差控制方法

• 🎯 双精度运算： 提高尾数精度
• 📊 误差分析： 估算精度损失
• 🔧 特殊算法： Kahan求和等

📝 精度损失示例：

1.0 + 2^{-24} = 1.0 + 0.0000000596\cdots \approx 1.0 \quad \text{（单精度丢失）}

📝 重要公式总结

🎯 核心公式速查

| 类别 | 公式 | 说明 | | –––––––––– | ———————————————— | –––––––– | –– | ———— | | 进制转换 | N = \sum_{i=-m}^{n} d_i \times r^i | 任意进制转十进制 | | 浮点数 | N = (-1)^S \times M \times 2^{E-\text{偏移量}} | IEEE 754标准 | | 补码范围 | [-2^{n-1}, 2^{n-1}-1] | n位补码表示范围 | | 定点小数（原码） | [-(1-2^{-n}), (1-2^{-n})] | 原码小数范围 | | 定点小数（补码） | [-1, (1-2^{-n})] | 补码小数范围 | | 定点整数（补码） | [-2^{n-1}, 2^{n-1}-1] | 补码整数范围 | | 溢出检测 | V = C_{n-1} \oplus C_n | 补码溢出判断 | | 移码转换 | [X]_{\text{移}} = 2^n + X | 移码公式 | | 规格化条件 | 0.5 \leq | M | < 1 | 二进制规格化 |

🔍 重要常数

📚 复习要点

⭐ 重点掌握

1. 🔄 进制转换： 熟练掌握各种进制间的转换方法
2. ⚡ 补码运算： 理解补码的优势和运算规则
3. 📏 定点数范围： 记住不同编码的表示范围
4. 🌊 浮点数格式： 掌握IEEE 754标准格式
5. ⚙️ 浮点运算： 理解五步运算流程
6. ⚠️ 溢出检测： 掌握各种溢出判断方法

🎯 常考题型

• 进制转换计算
• 原码/反码/补码互转
• 定点数运算与溢出判断
• IEEE 754格式转换
• 浮点数加减运算
• 特殊值识别

💡 记忆技巧

• 补码优势： “统一运算，唯一零值”
• 浮点运算： “对阶→加减→规格→舍入→溢出”
• IEEE 754： “1+8+23=32位单精度，1+11+52=64位双精度”