代数系统的基本性质

同构

同构是代数系统之间的一种重要关系，用符号 $\cong$ 表示。若两个代数系统 $(A, \star)$ 和 $(B, \circ)$ 之间存在同构，则记作 $(A, \star) \cong (B, \circ)$。

同构的性质

1. 自反性

定理：任意代数系统与自身同构。

证明：
对于任意代数系统 $(A, \star)$，存在恒等映射 $f: A \rightarrow A$，对于任意 $a \in A$，有 $f(a) = a$。

对任意 $a, b \in A$，有：

$$f(a \star b) = a \star b = f(a) \star f(b)$$

所以恒等映射 $f$ 是从系统 $(A, \star)$ 到自身的同构，即 $(A, \star) \cong (A, \star)$。

先记忆一下基础概念,顺便练习一下$\LaTeX{}$

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运算律

可交换性

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y \in S,都有$
$x \circ y = y \circ x$
$则称\circ运算是\textbf{可交换的}$