关系数据模型的形式化定义

关系数据模型（Relational Data Model）是基于集合论和关系代数的数据库模型，由 E.F. Codd 于 1970 年提出。它将数据组织为关系（Relation），每个关系是一个二维表，行称为元组（Tuple），列称为属性（Attribute）。

基本概念

• 域（Domain）：域 D 是一个值的集合，所有值具有相同的数据类型。例如，整数域 D_int = {…, -1, 0, 1, …}，字符串域 D_string = {所有字符串}。
• 属性（Attribute）：属性 A 是关系中的一列，对应一个域 D。属性名唯一标识列。
• 元组（Tuple）：元组 t 是关系中的一行，由 n 个值组成，每个值来自对应属性的域。形式化表示为 t = <v1, v2, …, vn>，其中 vi ∈ D_i。
• 关系（Relation）：关系 R 是元组的集合，定义为 R ⊆ D1 × D2 × … × Dn，其中 n 是关系的度（Degree）。关系可以表示为二维表：
  • 行：元组。
  • 列：属性。 关系模式（Relation Schema）：关系模式 $R(A_1:D_1, A_2:D_2, \dots, A_n:D_n)$ 定义关系的结构，包括属性名和对应域。
• 关系实例（Relation Instance）：关系在某一时刻的具体元组集合。

示例关系

考虑学生关系 Student(SID: int, Name: string, Age: int)：

SID	Name	Age
1	Alice	20
2	Bob	22
3	Carol	21

• 度：3（三个属性）。
• 基数：3（三个元组）。

关系的运算

关系运算基于关系代数（Relational Algebra），包括集合运算和专门运算。运算结果仍是关系，可以用表格表示。

集合关系运算

假设有两个关系 R 和 S，具有相同的属性（兼容）。

1. 并（Union）：R ∪ S = {t | t ∈ R ∨ t ∈ S}。合并两个关系的元组，去除重复。

   • 示例：学生表 A 和 B。

     • A:

       SID	Name
       1	Alice
       2	Bob

     • B:

       SID	Name
       2	Bob
       3	Carol

     • A ∪ B:

       SID	Name
       1	Alice
       2	Bob
       3	Carol

2. 交（Intersection）：R ∩ S = {t | t ∈ R ∧ t ∈ S}。取共同元组。

   • 示例：A ∩ B:

     SID	Name
     2	Bob

3. 差（Difference）：R - S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S}。取 R 中不在 S 中的元组。

   • 示例：A - B:

     SID	Name
     1	Alice

选择运算（Selection）

选择 $\sigma_{\text{条件}}(R)$ 从关系 R 中选择满足条件的元组。

• 形式化：$\sigma_F(R) = \{ t \mid t \in R \land F(t) = \text{true} \}$，其中 F 是条件（如 Age > 20）。
• 示例：σ_Age>20(Student)
  • 原表：

    SID	Name	Age
    1	Alice	20
    2	Bob	22
    3	Carol	21

  • 结果：

    SID	Name	Age
    2	Bob	22
    3	Carol	21

投影运算（Projection）

投影 $\pi_{\text{属性列表}}(R)$ 从关系 R 中选择指定属性，去除重复。

• 形式化：$\pi_{A_1, A_2, \dots, A_k}(R) = \{ t[A_1, A_2, \dots, A_k] \mid t \in R \}$。
• 示例：π_Name,Age(Student)
  • 原表：

    SID	Name	Age
    1	Alice	20
    2	Bob	22
    3	Carol	21

  • 结果：

    Name	Age
    Alice	20
    Bob	22
    Carol	21

连接运算（Join）

连接将两个关系基于条件组合。

• 自然连接（Natural Join）：$R \bowtie S = \{ t[r] \cup t[s] \mid t[r] \in R, t[s] \in S, t[r][A] = t[s][A] \text{ for common attributes } A \}$。

• 示例：学生表 Student(SID, Name) 和成绩表 Grade(SID, Course, Score)。

  • Student:

    SID	Name
    1	Alice
    2	Bob

  • Grade:

    SID	Course	Score
    1	Math	90
    2	Math	85

  • Student ⋈ Grade:

    SID	Name	Course	Score
    1	Alice	Math	90
    2	Bob	Math	85

• θ-连接：$R \bowtie_\theta S = \{ t[r] \cup t[s] \mid t[r] \in R, t[s] \in S, \theta(t[r], t[s]) \}$，θ 是比较条件。

• 外连接：左外连接 $(R \ltimes S)$、右外连接 $(R \rtimes S)$、全外连接 $(R \bowtie_L S)$，保留不匹配的元组，用 null 填充。

除运算（Division）

除 $R \div S$ 基于 S 的属性划分 R。

• 形式化：$R \div S = \{ t \mid \forall u \in S, t \cup u \in R \}$，其中 S 的属性是 R 的子集。
• 示例：供应商表 Supplier(SID, Part) 和零件表 Part(PID)。
  • Supplier:

    SID	Part
    1	A
    1	B
    2	A

  • Part:

    Part
    A
    B

  • Supplier ÷ Part:

    SID
    1

换名操作（Rename）

换名 $\rho_{\text{NewName}}(R)$ 或 $\rho_{A \to B}(R)$ 重命名关系或属性。

• 示例：ρ_StudentTable(Student) 将 Student 重命名为 StudentTable。
• 属性换名：ρ_SID→StudentID(Student) 将 SID 改为 StudentID。

关系的完整性约束

完整性约束确保数据库数据的正确性和一致性。

实体完整性（Entity Integrity）

• 定义：关系的主键不能为 null。每个元组的主键值必须唯一且非空。
• 原因：主键唯一标识元组，null 值会破坏唯一性。
• 示例：在 Student 表中，SID 为主键，不能有 null 或重复值。

参照完整性（Referential Integrity）

• 定义：外键的值必须匹配参照关系的主键，或为 null（如果允许）。
• 原因：维护关系间的引用一致性，避免悬空引用。
• 示例：Grade 表的 SID 外键必须存在于 Student 表的 SID 中。

用户定义完整性（User-Defined Integrity）

• 定义：根据应用需求定义的约束，如域约束、检查约束。
• 类型：
  • 域约束：属性值必须在域内（如 Age > 0）。
  • 检查约束：元组级条件（如 Score BETWEEN 0 AND 100）。
  • 断言：跨关系约束。
• 示例：Age 属性必须 >= 18。