计算机组成原理第二章 - 定点数与浮点数

📚 基础知识回顾

1. 🔄 数的进制转换

1.1 十进制转其他进制

🎯 核心方法：

• 整数部分：除基数取余法
• 小数部分：乘基数取整法

📝 十进制转二进制（整数）

方法：除 2 取余法，余数倒序排列

示例：$(42)_{10} \rightarrow (?)_2$

$$\begin{aligned} 42 \div 2 &= 21 \cdots 0\\ 21 \div 2 &= 10 \cdots 1\\ 10 \div 2 &= 5 \cdots 0\\ 5 \div 2 &= 2 \cdots 1\\ 2 \div 2 &= 1 \cdots 0\\ 1 \div 2 &= 0 \cdots 1 \end{aligned}$$

✅ 结果： $(42)_{10} = (101010)_2$

📝 十进制转十六进制

示例：$(255)_{10} \rightarrow (?)_{16}$

$$\begin{aligned} 255 \div 16 &= 15 \cdots 15_{(F)}\\ 15 \div 16 &= 0 \cdots 15_{(F)} \end{aligned}$$

✅ 结果： $(255)_{10} = (FF)_{16}$

1.2 其他进制转十进制

🎯 核心公式：

$N = \sum_{i=-m}^{n} d_i \times r^i$

其中：$r$ 为基数，$d_i$ 为各位数字，$i$ 为权值

📝 示例1： $(1011.01)_2 \rightarrow (?)_{10}$

$$\begin{aligned} &= 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}\\ &= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25\\ &= (11.25)_{10} \end{aligned}$$

📝 示例2： $(2A.F)_{16} \rightarrow (?)_{10}$

$$\begin{aligned} &= 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 + 15 \times 16^{-1}\\ &= 32 + 10 + 0.9375\\ &= (42.9375)_{10} \end{aligned}$$

1.3 小数转换详解

📝 示例： $(13.625)_{10} \rightarrow (?)_2$

整数部分： $13_{10} = 1101_2$

小数部分（乘2取整法）：

$$\begin{aligned} 0.625 \times 2 &= 1.25 \quad \text{取整：} 1\\ 0.25 \times 2 &= 0.5 \quad \text{取整：} 0\\ 0.5 \times 2 &= 1.0 \quad \text{取整：} 1 \end{aligned}$$

✅ 结果： $(13.625)_{10} = (1101.101)_2$

2. 🔢 负数表示方法

2.1 原码、反码、补码对比

编码方式	正数	负数	0的表示	运算特点
原码	符号位0 + 真值	符号位1 + 真值	+0, -0两种	需要符号位单独处理
反码	与原码相同	符号位1 + 数值位取反	+0, -0两种	加法有特殊规则
补码	与原码相同	反码 + 1	唯一0	统一加减法运算

📝 示例（8位）：

数值	原码	反码	补码
+5	00000101	00000101	00000101
-5	10000101	11111010	11111011
+0	00000000	00000000	00000000
-0	10000000	11111111	00000000

2.2 补码的优势

⚡ 关键优势：

1. 零的唯一表示
2. 加减法运算统一
3. 硬件实现简单
4. 表数范围最大

📝 补码范围： $n$ 位补码表示范围为 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$

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🎯 定点数表示

1. 📖 定点数基础概念

1.1 定义与分类

🔑 定点数： 小数点位置固定的数值表示方法

类型	定义	示例	应用场景
定点整数	小数点在末尾	$101_2 = 5_{10}$	整数运算
定点小数	小数点在首位后	$0.1001_2 = 0.5625_{10}$	精密计算

💾 存储格式： 符号位(1位) + 数值位(n位) = 总长度 $n+1$ 位

1.2 关键特性对比

特性	定点数	浮点数
📊 表示范围	有限，易溢出	极大范围
🎯 精度	固定精度	动态精度
⚡ 运算速度	快	相对较慢
🔧 硬件复杂度	简单	复杂
🔋 功耗	低	高

2. 📊 定点数表示范围

2.1 定点小数（纯小数）

📋 范围对比表：

编码类型	最大正数	最小正数	最大负数	数据范围
原码	$0.111\cdots1$ $(1-2^{-n})$	$0.000\cdots1$ $(2^{-n})$	$-0.111\cdots1$ $(-1+2^{-n})$	$-(1-2^{-n}) \leq X \leq (1-2^{-n})$
补码	$0.111\cdots1$ $(1-2^{-n})$	$0.000\cdots1$ $(2^{-n})$	$-1.000\cdots0$ $(-1)$	$-1 \leq X \leq (1-2^{-n})$

📝 示例（8位定点小数，$n=7$）：

• 补码范围： $[-1.0000000, +0.1111111]$ 即 $[-1, 0.9921875]$

2.2 定点整数（纯整数）

📋 范围对比表：

编码类型	最大正数	最小负数	数据范围
原码	$0111\cdots1$ $(2^{n-1}-1)$	$1111\cdots1$ $(-(2^{n-1}-1))$	$-(2^{n-1}-1) \leq X \leq (2^{n-1}-1)$
补码	$0111\cdots1$ $(2^{n-1}-1)$	$1000\cdots0$ $(-2^{n-1})$	$-2^{n-1} \leq X \leq (2^{n-1}-1)$

📝 示例（8位定点整数，$n=7$）：

• 补码范围： $[-128, +127]$

3. 🔄 数制转换详解

3.1 十进制 → 二进制定点数

🎯 定点小数转换步骤：

📝 示例： $0.625_{10} \rightarrow 8$位定点小数

$$\begin{aligned} 0.625 \times 2 &= 1.25 \quad \text{取整：} 1, \text{余：} 0.25\\ 0.25 \times 2 &= 0.5 \quad \text{取整：} 0, \text{余：} 0.5\\ 0.5 \times 2 &= 1.0 \quad \text{取整：} 1, \text{余：} 0 \end{aligned}$$

✅ 结果： $0.625_{10} = 0.101_2 = 0\,1010000_{\text{补}}$

🎯 定点整数转换：

📝 示例： $5_{10} \rightarrow 8$位定点整数

步骤： $5_{10} = 101_2 \rightarrow 0\,0000101_{\text{补}}$

3.2 二进制定点数 → 十进制

🎯 定点小数转换公式：

$X = \sum_{i=1}^{n} b_i \times 2^{-i}$

📝 示例： $1\,0110000_{\text{补}}$ → 十进制

步骤：

1. 符号位为1，表示负数
2. 数值位：$0110000$
3. 按权展开：$0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} + 0 + \cdots = 0.25 + 0.125 = 0.375$
4. 补码转换：先减1得反码 $1\,0001111$，再取反得原码 $1\,1110000$
5. 结果： $-0.875$

🎯 定点整数转换公式：

$X = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^{i}$

3.3 编码转换规则

🔄 原码 ↔ 补码：

转换方向	正数	负数
原码→补码	不变	数值位取反+1
补码→原码	不变	减1后数值位取反

📝 示例： $-5$ 的编码转换（8位）

$$\begin{aligned} \text{原码：} &\quad 1\,0000101\\ \text{反码：} &\quad 1\,1111010\\ \text{补码：} &\quad 1\,1111011 \end{aligned}$$

4. ⚡ 定点数运算

4.1 补码加减法

🎯 运算规则：

$[A \pm B]_{\text{补}} = [A]_{\text{补}} \pm [B]_{\text{补}}$

📝 示例： $(-5) + 3$（8位）

$$\begin{aligned} -5: &\quad 1\,1111011\\ +3: &\quad 0\,0000011\\ \hline \text{和}: &\quad 1\,1111110 = -2 \end{aligned}$$

4.2 溢出检测

⚠️ 溢出判断方法：

1. 进位标志法： $V = C_{n-1} \oplus C_n$
2. 符号检测法： 同号相加结果异号

📝 溢出示例： $127 + 1$（8位补码）

$$\begin{aligned} 127: &\quad 0\,1111111\\ +1: &\quad 0\,0000001\\ \hline \text{和}: &\quad 1\,0000000 = -128 \quad \text{❌溢出} \end{aligned}$$

检测： $C_6 = 1, C_7 = 0 \Rightarrow C_6 \oplus C_7 = 1$ → 溢出

5. 💼 定点数应用场景

应用领域	特点	典型应用
🤖 嵌入式系统	低功耗、实时性高	传感器处理、控制系统
🎵 数字信号处理	高精度、低延迟	FFT算法、数字滤波器
💰 金融计算	避免浮点误差	货币计算、利息计算
🎮 图形处理	并行计算友好	像素处理、坐标变换

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🌊 浮点数表示

1. 🔬 浮点数核心概念

1.1 通用表示形式

🎯 浮点数公式：

$N = (-1)^S \times M \times R^E$

参数说明：

• $S$：符号位（0=正，1=负）
• $M$：尾数（有效数字）
• $E$：阶码（指数）
• $R$：基数（通常为2）

1.2 IEEE 754标准

📋 单精度（32位）格式：

字段	位数	范围	计算规则
符号位 $S$	1位	0或1	0=正数，1=负数
阶码 $E$	8位	0-255	实际指数 = $E - 127$
尾数 $M$	23位	0-8388607	实际尾数 = $1.M$（规格化）

📋 双精度（64位）格式：

字段	位数	偏移量
符号位 $S$	1位	-
阶码 $E$	11位	1023
尾数 $M$	52位	-

📝 转换示例： $-0.75_{10}$ → IEEE 754单精度

步骤：

1. $-0.75_{10} = -0.11_2 = -1.1_2 \times 2^{-1}$
2. $S = 1$（负数）
3. $E = 126$（$127 - 1$）
4. $M = 10000000000000000000000$

✅ 结果： 1 01111110 10000000000000000000000

2. 📏 浮点数规格化

2.1 规格化条件

🎯 规格化要求：

$\frac{1}{R} \leq |M| < 1 \quad \text{（二进制：} 0.5 \leq |M| < 1\text{）}$

📋 补码尾数规格化形式：

数值类型	规格化形式	示例
正数	$0.1xxx\cdots x$	$0.1101000$
负数	$1.0xxx\cdots x$	$1.0011000$

2.2 规格化判断表

二进制补码	是否规格化	说明
$0.0011010 \times 2^{0010}$	❌	尾数首位非1
$0.1101000 \times 2^{0000}$	✅	满足 $0.5 \leq M < 1$
$1.1100110 \times 2^{0010}$	❌	负数应为$1.0xxx$形式
$1.0011000 \times 2^{0000}$	✅	满足 $-1 \leq M < -0.5$

3. 📈 浮点数表示范围

3.1 IEEE 754单精度范围

数值类型	表示范围	十进制近似
最大规格化正数	$(2-2^{-23}) \times 2^{127}$	$\approx 3.4 \times 10^{38}$
最小规格化正数	$1.0 \times 2^{-126}$	$\approx 1.18 \times 10^{-38}$
最大非规格化数	$(1-2^{-23}) \times 2^{-126}$	$\approx 1.18 \times 10^{-38}$
最小非规格化数	$2^{-23} \times 2^{-126}$	$\approx 1.4 \times 10^{-45}$

3.2 溢出处理

情况	结果	表示
上溢	$\pm\infty$	阶码全1，尾数全0
下溢	非规格化数或0	阶码全0

4. 🔢 阶码与移码

4.1 移码定义

🎯 移码公式：

$[X]_{\text{移}} = 2^n + X \quad (-2^n \leq X \leq 2^n-1)$

💡 移码特性：

• 零的移码为 $10\cdots0$
• 真值与移码单调递增
• 便于大小比较

4.2 移码对照表

📋 8位移码示例（$n=7$，偏移量=128）：

真值	补码	移码	十进制值
-128	10000000	00000000	0
-127	10000001	00000001	1
-1	11111111	01111111	127
0	00000000	10000000	128
1	00000001	10000001	129
127	01111111	11111111	255

5. ⚙️ 浮点数运算

5.1 加减运算流程

graph LR
    A[🔄 对阶] --> B[➕ 尾数加减]
    B --> C[📏 规格化]
    C --> D[🔄 舍入]
    D --> E[⚠️ 溢出判断]

    style A fill:#e1f5fe
    style B fill:#f3e5f5
    style C fill:#e8f5e8
    style D fill:#fff3e0
    style E fill:#ffebee

5.2 运算步骤详解

🔄 步骤1：对阶（小阶向大阶看齐）

📝 示例： $X=2^3 \times 0.1101$，$Y=2^5 \times 0.1010$

• 阶差：$5-3=2$
• X尾数右移2位：$X' = 2^5 \times 0.001101$

➕ 步骤2：尾数加减

$[M_X]_{\text{补}} + [M_Y]_{\text{补}} = 00.001101 + 11.0110 = 11.100101$

📏 步骤3：规格化

• 结果：$11.100101$ → 左规1位 → $11.001010$（阶码-1）

🔄 步骤4：舍入

• 0舍1入：$11.001010 \rightarrow 11.00101$

⚠️ 步骤5：溢出判断

• 检查阶码是否超出范围

5.3 典型运算示例

📝 题目： $X=2^7 \times \frac{29}{32}$，$Y=2^5 \times \frac{5}{8}$，求$X+Y$

条件： 阶码5位，尾数7位（含符号位）

解答过程：

1. 对阶：

   • $[X]_{\text{补}} = 00111\,00.11101$
   • $[Y]_{\text{补}} = 00111\,00.0010100$

2. 尾数运算：

   • $00.11101 + 00.00101 = 01.00010$ → 尾数溢出

3. 右规处理：

   • 尾数：$00.10001$，阶码+1 → $01000\,00.10001$

4. 溢出判断：

   • 阶码$01000$超出5位最大值$01111$ → 上溢

6. 🚨 浮点数特殊值

📋 IEEE 754特殊值编码：

阶码E	尾数M	含义	示例
全0	全0	$\pm 0$	0 00000000 000...000
全0	非全0	非规格化数	0 00000000 000...001
全1	全0	$\pm \infty$	0 11111111 000...000
全1	非全0	NaN	0 11111111 000...001

7. ⚠️ 浮点数运算误差

7.1 误差来源

误差类型	产生原因	影响
对阶误差	尾数右移丢失低位	精度损失
舍入误差	位数限制近似	累积误差
运算误差	多次操作叠加	结果偏差

7.2 误差控制方法

• 🎯 双精度运算： 提高尾数精度
• 📊 误差分析： 估算精度损失
• 🔧 特殊算法： Kahan求和等

📝 精度损失示例：

$1.0 + 2^{-24} = 1.0 + 0.0000000596\cdots \approx 1.0 \quad \text{（单精度丢失）}$

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📝 重要公式总结

🎯 核心公式速查

类别	公式	说明
进制转换	$N = \sum_{i=-m}^{n} d_i \times r^i$	任意进制转十进制
浮点数	$N = (-1)^S \times M \times 2^{E-\text{偏移量}}$	IEEE 754标准
补码范围	$[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$	n位补码表示范围
定点小数（原码）	$[-(1-2^{-n}), (1-2^{-n})]$	原码小数范围
定点小数（补码）	$[-1, (1-2^{-n})]$	补码小数范围
定点整数（补码）	$[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$	补码整数范围
溢出检测	$V = C_{n-1} \oplus C_n$	补码溢出判断
移码转换	$[X]_{\text{移}} = 2^n + X$	移码公式
规格化条件	$0.5 \leq	M

🔍 重要常数

标准	偏移量	表示范围
IEEE 754单精度	127	$\pm 3.4 \times 10^{38}$
IEEE 754双精度	1023	$\pm 1.8 \times 10^{308}$

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📚 复习要点

⭐ 重点掌握

1. 🔄 进制转换： 熟练掌握各种进制间的转换方法
2. ⚡ 补码运算： 理解补码的优势和运算规则
3. 📏 定点数范围： 记住不同编码的表示范围
4. 🌊 浮点数格式： 掌握IEEE 754标准格式
5. ⚙️ 浮点运算： 理解五步运算流程
6. ⚠️ 溢出检测： 掌握各种溢出判断方法

🎯 常考题型

• 进制转换计算
• 原码/反码/补码互转
• 定点数运算与溢出判断
• IEEE 754格式转换
• 浮点数加减运算
• 特殊值识别

💡 记忆技巧

• 补码优势： “统一运算，唯一零值”
• 浮点运算： “对阶→加减→规格→舍入→溢出”
• IEEE 754： “1+8+23=32位单精度，1+11+52=64位双精度”