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偏序关系
<A,≤>是偏序集:≤是A上自反,反对称,和传递关系(偏序).
偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来.
偏序集中的重要元素:极大(小)元,最大(小)元,上(下)界,上(下)确界.
定义
<A,≤>是偏序集,如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有上确界和下确界,则称<A,≤>是格
由格诱导的代数系统设<A,⪯>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:∀a,b∈Aa∨b=LUB{a,b},{a,b}的最小上界。LeastUpperBounda∧b=GLB{a,b},{a,b}的最大下界。GreatestLowerBound称<A,∨,∧>是由格<A,⪯>诱导的代数系统。(∨−并,∧−交)
子格设<A,∨,∧>是由格<A,⪯>诱导的代数系统。B是A的非空子集,如果∧和∨在B上封闭,则称<B,⪯>是<A,⪯>的子格。
格的对偶如果将命题(P)中的⩽换成⩾,∧换成∨,∨换成∧,得到命题(P′),称(P′)为(P)的对偶命题。对偶原理:如果(P)对任何格为真,则(P′)对任何格也为真。
格的同态与同构
三. 格的同态与同构设<A1,⩽1> 和 <A2,⩽2> 是两个格,由它们诱导的代数系统分别是 <A1,∨1,∧1> 和 <A2,∨2,∧2>, 如果存在映射 f:A1→A2 使得对任何 a,b∈A1,f(a∨1b)=f(a)∨2f(b)f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)则称f 是 <A1,∨1,∧1> 到 <A2,∨2,∧2> 的同态映射。也称 <f(A1),⩽2> 是 <A1,⩽1> 的同态像。如果 f 是双射,就称 f 是 <A1,∨1,∧1> 到 <A2,∨2,∧2> 的格同构,也称格 <A1,⩽1> 和 <A2,⩽2> 同构。