回顾

偏序关系

<A,><A,\leq>是偏序集:A上自反,反对称,和传递关系(偏序).\leq 是A上自反,反对称,和传递关系(偏序).

偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来. 偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来.

偏序集中的重要元素:极大(),最大(),(),()确界.偏序集中的重要元素:极大(小)元,最大(小)元,上(下)界,上(下)确界.

定义

<A,>是偏序集,如果任何a,bA,使得{a,b}都有上确界和下确界,则称<A,>是格<A,\leq>是偏序集,如果任何a,b \in A,使得 \{a,b\}都有\\上确界和下确界,则称<A,\leq>是格

💡

平凡格

所有的全序都是格,称之为平凡格.

由格诱导的代数系统<A,>是格,在A上定义二元运算:a,bAab=LUB{a,b},{a,b}的最小上界。LeastUpperBoundab=GLB{a,b},{a,b}的最大下界。GreatestLowerBound<A,,>是由格<A,>诱导的代数系统。(,)\mathbf{ \begin{aligned} &\text{由格诱导的代数系统} \\ &设<A,\preceq>是格,在A上定义二元运算\lor和\land为: \forall a,b\in A \\ &a\lor b = \text{LUB} \{a,b\}, \quad \{a,b\}的最小上界。Least Upper Bound \\ &a\land b = \text{GLB} \{a,b\}, \quad \{a,b\}的最大下界。Greatest Lower Bound \\ &称<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。(\lor-并,\land-交) \end{aligned} }

子格<A,,>是由格<A,>诱导的代数系统。BA的非空子集,如果B上封闭,则称<B,><A,>的子格。\mathbf{ \begin{aligned} &\text{子格} \\ &设<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。B是A的非空子集, \\ &如果\land和\lor在B上封闭,则称<B,\preceq>是<A,\preceq>的子格。 \end{aligned} }

格的对偶如果将命题(P)中的换成换成换成,得到命题(P),称(P)(P)的对偶命题。对偶原理:如果(P)对任何格为真,则(P)对任何格也为真。\mathbf{ \begin{aligned} &\text{格的对偶} \\ &如果将命题 (P) 中的 \leqslant 换成 \geqslant,\land 换成 \lor,\lor 换成 \land,得到命题 (P'),称 (P') 为 (P) 的对偶命题。 \\ &对偶原理:如果 (P) 对任何格为真,则 (P') 对任何格也为真。 \end{aligned} }

格的同态与同构

三. 格的同态与同构<A1,1> 和 <A2,2> 是两个格,由它们诱导的代数系统分别是 <A1,1,1> 和 <A2,2,2>, 如果存在映射 f:A1A2 使得对任何 a,bA1,f(a1b)=f(a)2f(b)f(a1b)=f(a)2f(b)则称f 是 <A1,1,1> 到 <A2,2,2> 的同态映射。也称 <f(A1),2> 是 <A1,1> 的同态像。如果 f 是双射,就称 f 是 <A1,1,1> 到 <A2,2,2> 的格同构,也称格 <A1,1> 和 <A2,2> 同构。\mathbf{ \begin{aligned} &\text{三. 格的同态与同构} \\ &\text{设} <A_1,\leqslant_1> \text{ 和 } <A_2,\leqslant_2> \text{ 是两个格,由它们诱导的代数系统分别是 } \\ &<A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 和 } <A_2,\lor_2,\land_2>, \text{ 如果存在映射 } f:A_1\rightarrow A_2 \text{ 使得对任何 } a,b\in A_1, \\ &\quad f(a\lor_1 b)=f(a)\lor_2 f(b) \\ &\quad f(a\land_1 b)=f(a)\land_2 f(b) \\ &\text{则称} f \text{ 是 } <A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 到 } <A_2,\lor_2,\land_2> \text{ 的同态映射。} \\ &\text{也称 } <f(A_1),\leqslant_2> \text{ 是 } <A_1,\leqslant_1> \text{ 的同态像。} \\ &\text{如果 } f \text{ 是双射,就称 } f \text{ 是 } <A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 到 } <A_2,\lor_2,\land_2> \text{ 的格同构,} \\ &\text{也称格 } <A_1,\leqslant_1> \text{ 和 } <A_2,\leqslant_2> \text{ 同构。} \end{aligned} }